Συναρτησιακή και υπαρξιακά

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) + e^{f(x)} = x + x e^x \quad \text{για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

Να αποδειχθεί ότι:

αν $\alpha \neq \beta$ τότε $f(\alpha) \neq f(\beta)$ .
αν $\alpha + f(\alpha) = \beta + f(\beta)$ τότε $\alpha = \beta$ .
υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε .
υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $f(\xi) = \xi$ .
$f \left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R}$ .

#2

Διαγράφω την λύση γιατί παρανάγνωσα την εκφώνηση. Βλέπε το παρακάτω ποστ.

stranger · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Οκτ 02, 2021 3:57 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Οκτ 02, 2021 12:35 pm Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) + e^{f(x)} = x + x e^x \quad \text{για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

Να αποδειχθεί ότι:

αν $\alpha \neq \beta$ τότε $f(\alpha) \neq f(\beta)$ .

αν $\alpha + f(\alpha) = \beta + f(\beta)$ τότε $\alpha = \beta$ .

υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε .

υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $f(\xi) = \xi$ .

$f \left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R}$ .

Νομίζω ότι η άσκηση χάνει την ουσία γιατί με απλές και γνωστές τεχνικές μπορούμε να δείξουμε (το πολύ ισχυρότερο) ότι η μόνη που ικανοποιεί την υπόθεση είναι η . Οπότε όλα τα αποδεικτέα είναι τετριμμένα.

Ας το δούμε. Αρκεί να δείξουμε ότι η είναι γνήσια αύξουσα.

Iσχύει . Θα αποδείξουμε ότι $g'(x) \ge 0$ , ισοδύναμα $1+x > -e^{-x}$ ή αλλιώς $e^{-x} \ge -1-x$ . Αλλά από την γνωστή $e^t\ge 1+t$ έχουμε $e^{-x} \ge 1-x >-1-x$ , όπως θέλαμε. Τελειώσαμε.

Κύριε Λάμπρου, η f(x)=x

δεν ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση.

#4

stranger έγραψε: Σάβ Οκτ 02, 2021 5:30 pm η δεν ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση.

Έχεις δίκιο. Παρανάγνωσα το αριστερό μέλος ως $f(x) + f(x) e^{f(x)}$ αντί $f(x) + e^{f(x)}$ .

Διαγράφω την λύση μου σε λάθος άσκηση...

Να 'σαι καλά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Οκτ 02, 2021 12:35 pm Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) + e^{f(x)} = x + x e^x \quad \text{για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

Να αποδειχθεί ότι:

αν $\alpha \neq \beta$ τότε $f(\alpha) \neq f(\beta)$ .

αν $\alpha + f(\alpha) = \beta + f(\beta)$ τότε $\alpha = \beta$ .

υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε .

υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $f(\xi) = \xi$ .

$f \left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R}$ .

Θα χρησιμοποιήσω ένα μέρος της λύσης του Μιχάλη.

Θα δείξουμε ότι η g(x)=x+xe^x

είναι γνήσια αύξουσα.

Iσχύει g'(x) = 1+ (1+x)e^x

. Θα αποδείξουμε ότι $g'(x) \ge 0$ , ισοδύναμα $1+x > -e^{-x}$ ή αλλιώς $e^{-x} \ge -1-x$ . Αλλά από την γνωστή $e^t\ge 1+t$ έχουμε $e^{-x} \ge 1-x >-1-x$ , όπως θέλαμε. Τελειώσαμε.

Θέτουμε $\displaystyle r(x)=x+e^x$
Είναι πανεύκολο να δούμε ότι είναι γνησίως αύξουσα και $\displaystyle r(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
Ετσι υπάρχει η $\displaystyle r^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
είναι γνησίως αύξουσα και $\displaystyle r^{-1}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
Η συναρτησιακή γράφεται $\displaystyle r(f(x))=g(x)$
Ετσι $\displaystyle f(x)=r^{-1}(g(x))$
που δείχνει ότι η

είναι γνησίως αύξουσα και $\displaystyle f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
Δείξαμε το πρώτο και τελευταίο.
Είναι $\displaystyle f(1)=1$ οπότε $\xi=1$
Το τρίτο προκύπτει από την $\displaystyle f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
ενώ το δεύτερο από το γεγονός ότι η $\displaystyle x+f(x)$ είναι γνησίως αύξουσα

Συναρτησιακή και υπαρξιακά

Συναρτησιακή και υπαρξιακά

Re: Συναρτησιακή και υπαρξιακά

Re: Συναρτησιακή και υπαρξιακά

Re: Συναρτησιακή και υπαρξιακά

Re: Συναρτησιακή και υπαρξιακά

Μέλη σε σύνδεση