Μέγιστο με τριγωνομετρία

KARKAR · #1

: Μέγιστο με τριγωνομετρία.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Ο κυκλικός τομέας του σχήματος , είναι γωνίας $45^\circ$ και ακτίνας

. Πάνω στο τόξο του ,

θεωρούμε σημείο

, ώστε : $\widehat{AOK}=\theta$ και σχεδιάζουμε το ορθογώνιο KLMN

.

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου , αν : $\theta=30^\circ$ .

β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου .

Σημ : Η άσκηση απαιτεί λεπτούς - αλλά εντός ύλης - τριγωνομετρικούς χειρισμούς .

#2

Καλησπέρα σε όλους. Απέφυγα τους (εκτός ύλης) τύπους διπλασίου τόξου που θα διευκόλυναν την επίλυση.

: 21-01-2023 Ανάλυση.png (7.68 KiB) Προβλήθηκε 996 φορές

Έστω

. Τότε $\displaystyle K\left( \sigma \upsilon \nu \theta ,\ \eta \mu \theta \right)$

OB:y = x

. Οπότε $\displaystyle L\left( \eta \mu \theta ,\ \eta \mu \theta \right)$

$\displaystyle \left( KLMN \right)=\left( \sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta \right)\eta \mu \theta =\eta \mu \theta \cdot \sigma \upsilon \nu \theta -\eta {{\mu }^{2}}\theta ,\ \ \theta \in \left[ 0,\frac{\pi }{4} \right]$

Για $\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6}$ είναι $\displaystyle \left(KLMN \right)=\frac{\sqrt{3}-1}{4}\cdot r$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right)=\sigma \upsilon \nu x\cdot \eta \mu x-\eta {{\mu }^{2}}x,\ \ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{4} \right]$ έχει παράγωγο

$\displaystyle \begin{array}{l} f'\left( x \right) = - \eta {\mu ^2}x + \sigma \upsilon {\nu ^2}x - 2\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x = {\left( {\eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)^2} - 2\eta {\mu ^2}x\\ \end{array} }$

$\displaystyle {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x=\sqrt{2}\eta \mu x\Leftrightarrow \varepsilon \varphi x=\sqrt{2}-1$ .

Με πίνακα προσήμου βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο όταν $\displaystyle x=\frac{\pi }{8}$

Σχόλιο Οι πολικές συντεταγμένες είναι επίσης εκτός ύλης. Η χρήση τους είναι άκρως απαραίτητη σε τέτοιου τύπου προβλήματα, γιατί αντικαθιστά τις δύο μεταβλητές (συντεταγμένες) με μία. Επίσης δυσκολεύομαι να κάνω τον υπολογισμό της εφαπτομένης του $\pi/8$ με την εντός ύλης λυκειακή τριγωνομετρία.

S.E.Louridas · #3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 21, 2023 7:21 pm Μέγιστο με τριγωνομετρία.pngΟ κυκλικός τομέας του σχήματος , είναι γωνίας $45^\circ$ και ακτίνας . Πάνω στο τόξο του ,
θεωρούμε σημείο , ώστε : $\widehat{AOK}=\theta$ και σχεδιάζουμε το ορθογώνιο .
α) Υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου , αν : $\theta=30^\circ$ .
β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου .

Με τη δύναμη της Γεωμετρίας, του μαθηματικού πλουραλισμού αλλά και των φίλων που προηγήθηκαν.

β)
Έχουμε: $KL = \sqrt 2 KF,$ άρα επί της ουσίας ζητάμε το γινόμενο ${\left( {KF \cdot KN} \right)_{\max }}$ .
Άμεσα παίρνουμε ότι το τετράπλευρο KFON

είναι εγγράψιμο σε κύκλο σταθερής διαμέτρου $\displaystyle{r}$ και με $\displaystyle{\angle NOF = \frac{\pi }{4}}$
και βέβαια $\displaystyle{\angle FKN = \frac{{3\pi }}{4}.}$ Τότε το γινόμενο $KF \cdot KN$ γίνεται μέγιστο,
όταν το εμβαδό (KFN)

γίνει μέγιστο με αυτό να το πετυχαίνουμε πλέον όταν η

είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\angle NOF = \frac{\pi }{4}}$ .

: geogebra-export.png (187.25 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Σάβ Ιαν 21, 2023 7:57 pm Σχόλιο Επίσης δυσκολεύομαι να κάνω τον υπολογισμό της εφαπτομένης του $\pi/8$ με την εντός ύλης λυκειακή τριγωνομετρία.

Γιώργο καλησπέρα. Αυτή σου κάνει;

KARKAR · #5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Σάβ Ιαν 21, 2023 7:57 pm Καλησπέρα σε όλους. Απέφυγα τους (εκτός ύλης) τύπους διπλασίου τόξου που θα διευκόλυναν την επίλυση.

Ουσιαστικά μιλάμε για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 22,5^0

. Το $\sin22,5^0$ υπολογίζεται

σε άσκηση του σχολικού , χωρίς τη χρήση των τύπων του διπλασίου τόξου .

Για τους φετινούς μαθητές της Β' Λυκείου , οι τύποι αυτοί είναι όντως εκτός ύλης . Αν δεν κάνω λάθος

όμως , οι μαθητές της φετινής Γ' , τους είχαν διδαχθεί πέρυσι .

#6

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 21, 2023 7:21 pm Μέγιστο με τριγωνομετρία.pngΟ κυκλικός τομέας του σχήματος , είναι γωνίας $45^\circ$ και ακτίνας . Πάνω στο τόξο του ,

θεωρούμε σημείο , ώστε : $\widehat{AOK}=\theta$ και σχεδιάζουμε το ορθογώνιο .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου , αν : $\theta=30^\circ$ .

β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου .

Σημ : Η άσκηση απαιτεί λεπτούς - αλλά εντός ύλης - τριγωνομετρικούς χειρισμούς .

Για το β) ερώτημα. Έστω r=1

η ακτίνα του τομέα και OM=ML=NK=a,

οπότε $OL=a\sqrt 2.$

: Μέγιστο με τριγωνομετρία.png (17.56 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

$\displaystyle (KLMN) = 2(OLK) = OL \cdot OK\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \theta } \right) = a\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \theta } \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle (KLMN) = f(\theta ) = \sqrt 2 \sin \theta \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \theta } \right),0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{4}$

$\displaystyle f'(\theta ) = \sqrt 2 \left[ {\cos \theta \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \theta } \right) - \sin \theta \cos \left( {\frac{\pi }{4} - \theta } \right)} \right] = \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2\theta } \right)$

Άρα η

παρουσιάζει μέγιστο όταν $\boxed{\theta = \frac{\pi }{8}}$ ίσο με $\boxed{f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \sqrt 2 {\sin ^2}\frac{\pi }{8}}$

Εύρεση του μέγιστου χωρίς τη χρήση του τύπου διπλάσιας γωνίας:

Με τους συμβολισμούς του σχήματος, $\displaystyle \sin \frac{\pi }{8} = AP$ και με νόμο συνημιτόνου στο OAB,

είναι

$\displaystyle A{B^2} = 2 - 2\cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 4A{P^2} = 2 - \sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{2} = [{(KLMN]_{\max }}}$

#7

Λάμπρο, Θανάση, Γιώργο, σάς ευχαριστώ για τις παρεμβάσεις σας, που αναδεικνύουν ένα υπαρκτό, φλέγον, πλην όμως παραμελημένο από τους έχοντες τη δυνατότητα να καθορίζουν τη σχολική ύλη.

Αφαιρώντας καίρια τμήματα της ύλης, σπάμε τη δομή και τη συνέχεια των μαθηματικών, κάνοντας τη διδασκαλία τους αποσπασματική.
Είναι σαν να ζητάμε από τους μαθητές να καρφώσουν καρφί στον τοίχο, απαγορεύοντας τους να χρησιμοποίησουν σφυρί.
Όμορφα θέματα όπως το παραπαπάνω καθίστανται απαγορευτικά (καταλαβαίνετε γιατί), οπότε οι μαθητές καλούνται να αντιμετωπίσουν τερατόμορφους μετασχηματισμούς π.χ. ανισοτικών σχέσεων που έχουν μεταμφιεστεί ώστε να κρύβουν την εφαρμογή βασικών θεωρημάτων.
Σε όλες τις πολιτισμένες χώρες οι πολικές συντεταγμένες και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις παίζουν πρωτεύοντα ρόλο στη Λυκειακή εκπαίδευση.
Ελπίζω με τα νέα προγράμματα να έχουμε μια εξομάλυνση της κατάστασης.

Π.χ., εδώ για τον υπολογισμό της εφαπτομένης του $\pi/8$ θα πρότεινα την πολύ απλή εφαρμογή του Θ. Διχοτόμων, που ... είναι βεβαίως εκτός ύλης

: 22-01-2023 Γεωμετρία a.png (16.48 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

Από Θ. Διχοτόμων, $\displaystyle \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB + AC}} \Leftrightarrow AD = \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} = \sqrt 2 - 1$

άρα $\displaystyle \varepsilon \varphi \frac{\pi }{8}=\frac{AD}{1}=\sqrt{2}-1$

Μέγιστο με τριγωνομετρία

Μέγιστο με τριγωνομετρία

Re: Μέγιστο με τριγωνομετρία

Re: Μέγιστο με τριγωνομετρία

Re: Μέγιστο με τριγωνομετρία

Re: Μέγιστο με τριγωνομετρία

Re: Μέγιστο με τριγωνομετρία

Re: Μέγιστο με τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση