Παράγωγος κατά Καραθεοδωρή

Al.Koutsouridis · #1

Με αφορμή το σχόλιο

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Τετ Ιουν 14, 2023 8:53 pm Ένα μικρό σχόλιο στην όμορφη λύση του Κώστα: Η χρήση της παραπάνω συνάρτησης υπάρχει στις σημειώσεις Απειροστικού Λογισμού Ι του κ. Γιαννόπουλου εδώ, στη σελίδα 110, και συγκεκριμένα αναγράφεται η ονομασία της ως Παρατήρηση του Καραθεοδωρή.

Στο βιβλίο του, Theory of Functions of a Complex Variable στην παράγραφο 124, ο Καραθεοδωρή δίνει τον παρακάτω ορισμό της διαφορισιμότητας και παραγώγου σε σημείο:

Μια μιγαδική συνάρτηση μιας μεταβλητής f(z)

ορισμένη σε μία περιοχή

λέγεται ότι είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο $z_{0}$ αυτής της περιοχής, αν υπάρχει πεπερασμένη συνάρτηση $\phi (z ; z_{0})$ η οποία είναι συνεχής στο σημείο $z=z_{0}$ και ικανοποιεί την σχέση

$f(z)=f(z_{0}) +(z-z_{0})\phi ( z;z_{0})$ (124.1)

σε όλα τα σημεία

της περιοχής

.

Οι συνθήκες, που ικανοποιεί η $\phi (z ; z_{0})$ , συνεπάγουν, ότι αν η f(z)

είναι διαφορίσιμη στο σημείο $z_{0}$ , τότε η f(z)

θα είναι και συνεχής στο $z_{0}$ . Επιπλέον, η υπόθεση, ότι η $\phi (z ; z_{0})$ είναι συνεχής στο $z=z_{0}$ σημαίνει ότι το όριο

$\displaystyle{\phi (z_{0} ; z_{0}) = \lim_{z=z_{0}} \phi (z ; z_{0})$ (124.2)}

υπάρχει.

Θα συμβολίζουμε αυτό το όριο ως $\dfrac{df(z_{0})}{dz}$ ή ως $f^{\prime}(z_{0})$ , και θα το ονομάζουμε η παράγωγος της f(z)

στο σημείο $z_{0}$ .

Η εξίσωση (124.1) ορίζει την συνάρτηση $\phi (z ; z_{0})$ μονοσήμαντα σε όλα τα σημεία $z \neq z_{0}$ στα οποία ορίζεται η f(z)

. Οπότε αν η f(z)

είναι διαφορίσιμη στο σημείο $z_{0}$ τότε η τιμή $f^{\prime}(z_{0}) = \phi (z_{0} ; z_{0})$ της παραγώγου της f(z)

στο σημείο $z_{0}$ ορίζεται και αυτή μονοσήμαντα. Θα βρούμε βολικό, παρακάτω, το να γράφουμε

$\phi (z_{0} ; z_{0}) = f^{\prime}(z_{0})$ . (124.3)

Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να μεταφέρουμε τον παραπάνω ορισμό στην περίπτωση συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής και θα αλλάξουμε λίγο τον συμβολισμό, ώστε να είναι πιο κοντά σε αυτόν του σχολικού βιβλίου. Η περιοχή

μπορούμε να θεωρήσουμε για τον σκοπό μας, στην περίπτωση μιας συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής, ότι είναι ένα ανοικτό διάστημα $\Delta$ .

Ορισμός παραγώγου κατά Καραθεοδωρή: Έστω συνάρτηση y=f(x)

ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα $\Delta$ και $x_{0}$ ένα σημείο αυτού του διαστήματος. Θα λέμε ότι η συνάρτηση f(x)

είναι διαφορίσιμη στο σημείο $x_{0}$ , αν υπάρχει ορισμένη στο διάστημα $\Delta$ συνάρτηση $\phi_{x_{0}}(x)$ , που ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

i) Η $\phi_{x_{0}}(x)$ είναι συνεχής στο $\Delta$
ii) στο διάστημα $\Delta$ ισχύει η ισότητα $f(x)-f(x_{0}) = \phi_{x_{0}}(x)(x-x_{0})$ .

Την συνάρτηση $\phi$ που υπεισέρχεται στο παραπάνω ορισμό της διαφορισιμότητας, θα την ονομάσουμε παράγωγο κατά Καραθεοδωρή της συνάρτησης f(x)

στο σημείο $x_{0}$ .

Την παράγωγο αυτή, θα συμφωνήσουμε να την συμβολίζουμε με $f_{x_{0}}^{\wedge} \left ( x \right)$ , όπου ο δείκτης $x_{0}$ υποδεικνύει, ότι η παράγωγος κατά Καραθεοδωρή συνδέεται με συγκεκριμένο σημείο.

Παράδειγμα 1. Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x) =\sqrt{x}$ σε ένα ανοικτό διάστημα $\Delta$ που περιέχει το σημείο $x_{0}$ ( $x_{0} > 0)$ . Εφόσον

$\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}(x-x_{0})$ ,

τότε η συνάρτηση αυτή είναι διαφορίσιμη κατά Καραθεοδωρή στο σημείο $x_{0}$ και η παράγωγός της κατά Καραθεοδωρή είναι

$f_{x_{0}}^{\wedge} \left ( x \right) = \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}$ . (π1)

Αν τώρα διαιρέσουμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης (ii) με $(x-x_{0})$ ( $x \neq x_{0}$ ) και περάσουμε στο όριο $x \to x_{0}$ προκύπτει, ότι η τιμή $\phi_{x_{0}}(x_{0})$ της συνάρτησης $\phi_{x_{x_{0}}(x)$ στο σημείο $x_{0}$ είναι η παράγωγος $f^{\prime}(x_{0})$ (η γνωστή από το σχολικό βιβλίο, κατά Cauchy) της συνάρτησης f(x)

στο σημείο $x_{0}$ .

Πράγματι έχοντας υπόψη τον σχολικό ορισμό της παραγώγου

$\displaystyle{ f^{\prime}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

έχουμε

$\displaystyle{ f^{\prime}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x \to x_{0}} \phi_{x_{0}}(x) = \phi_{x_{0}}(x_{0}) }$

Η τελευταία ισότητα ισχύει επειδή η $\phi$ , από την πρώτη συνθήκη του ορισμού (i), είναι συνεχής.

Δηλαδή η διαφορισιμότητα κατά Καραθεοδωρή συνεπάγεται την διαφορεσιμότητα (παραγωγισιμότητα για τους σκοπούς μας) κατά το σχολικό βιβλίο.

Παρατηρούμε, ότι ισχύει και το αντίστροφο από την παραγωγισιμότητα κατά το σχολικό βιβλίο μπορούμε να εξάγουμε την παραγωγισμότητα κατά Καραθεοδωρή. Πράγματι, έστω η συνάρτηση

$\displaystyle{\phi_{x_{0}}(x) =\left\{\begin{matrix} \dfrac{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}, x \neq x_{0} \\ f^{\prime}\left ( x_{0} \right), x =x_{0} \end{matrix}\right.}$

Η συνάρτηση $\phi_{x_{0}} \left ( x \right )$ είναι συνεχής στο σημείο $x_{0}$ και ικανοποιείται η ιδιότητα (ii), άρα, $\phi_{x_{0}}\left (x \right ) = f_{x_{0}}^{\wedge} \left ( x \right )$ .

Έτσι, καταλήξαμε στο ότι οι έννοιες διαφορισιμότητας (παραγωγισμότητας) κατά Καραθεοδωρή και κατά το σχολικό βιβλίο είναι ισοδύναμες και μάλιστα

$f_{x_{0}}^{\wedge} \left ( x_{0} \right ) = f^{\prime} \left ( x_{0} \right )$ .

Την τελευταία ισότητα μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε ως ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο. Αν μια συνάρτηση είναι διαφορίσιμη κατά Καραθεοδωρή στο σημείο $x_{0}$ , τότε

$f^{\prime} \left ( x_{0} \right ) \overset{o\varrho \iota \sigma .}{=} f_{x_{0}}^{\wedge} \left ( x_{0} \right)$

Επιστρέφοντας στο παράδειγμα 1, από την (π1) έχουμε

$f^{\prime} \left ( x_{0} \right ) = f_{x_{0}}^{\wedge} \left ( x_{0} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$ .

Δηλαδή $(\sqrt{x})^{\prime} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , x>0

(αντικατάσταση $x_{0}$ με

)

και προκύπτει ο γνωστός τύπος της παραγώγου της συνάρτησης $f(x)=\sqrt{x}$ .

Σε επόμενη δημοσίευση θα προσπαθήσω να μεταφέρω τις αποδείξεις μερικών θεωρήματων του κεφαλαίου 2 του σχολικού βιβλίου, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου κατά Καραθεοδωρή. Ως άσκηση, μπορεί κανείς να δοκιμάσει και ανεξάρτητα.

Πηγή για τα παραπάνω:
1. Constantin Carathéodory. Theory of Functions of a Complex Variable, 2 vols, New York, Chelsea Publishing Company, 1958
2. Σ. Ι. Καλίνιν. "Πάνω στο ζήτημα της διδασκαλίας της έννοιας της παραγώγου". «Τα μαθηματικά στο σχολείο», τεύχος 4, 1994.
3. Stephen Kuhn. The Derivative a la Caratheodory, American Mathematical Monthly, Vol98, No1, 1991.

Παράγωγος κατά Καραθεοδωρή

Παράγωγος κατά Καραθεοδωρή

Μέλη σε σύνδεση