Παραμετρική συνάρτηση με αρχική συνθήκη

Al.Koutsouridis · #1

Για

θετικό αριθμό δίνεται η συνάρτηση f(x)

με τύπο

$f(x)=\left ( k-|x|\right)e^{-x}$ .

Έστω g(k)

η ελάχιστη τιμή του F(0)

για όλες τις συναρτήσεις F(x)

, που είναι παραγωγίσιμες σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και ικανοποιούν την ακόλουθη συνθήκη:

Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς

, $F^{\prime}\left (x \right)=f(x)$ και $F(x) \geq f(x)$ .

Να βρείτε την τιμή της παράστασης $g \left (\dfrac{1}{4} \right) + g\left ( \dfrac{3}{2} \right)$ .

abgd · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Νοέμ 05, 2024 9:11 pm Για θετικό αριθμό δίνεται η συνάρτηση με τύπο

$f(x)=\left ( k-|x|\right)e^{-x}$ .

Έστω η ελάχιστη τιμή του για όλες τις συναρτήσεις , που είναι παραγωγίσιμες σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και ικανοποιούν την ακόλουθη συνθήκη:

Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς , $F^{\prime}\left (x \right)=f(x)$ και $F(x) \geq f(x)$ .

Να βρείτε την τιμή της παράστασης $g \left (\dfrac{1}{4} \right) + g\left ( \dfrac{3}{2} \right)$ .

Παραλείποντας τις πολλές πράξεις....

Για κάθε πραγματικό αριθμό

είναι $\displaystyle{F(x)-F(0)=\int_0^x{f(t)}dt\Rightarrow F(0)=F(x)-\int_0^x{f(t)}dt}$ και εφόσον $F(x) \geq f(x)$

$\displaystyle{F(0)\geq h(x)}$ με $\displaystyle{h(x)=f(x)-\int_0^x{f(t)}dt}$

Η ελάχιστη τιμή του F(0)

θα είναι το πάνω άκρο του συνόλου τιμών της συνάρτησης

.

Είναι $\displaystyle{h(x)=\left\{\begin{matrix} 2e^{-x}(k+x)+e^{-x}-k-1, \ \ x<0 \\ 2e^{-x}(k-x)-e^{-x}-k+1, \ \ x\geq0, \\ \end{matrix}\right.}$

$\displaystyle{h'(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x}(-2k+1-2x), \ \ x<0 \\ e^{-x}(2x-2k-1), \ \ x>0 \\ \end{matrix}\right.}$

Από τη τύπο της $\displaystyle{h'}$ παρατηρούμε 'οτι:

στο διάστημα $\displaystyle{(-\infty, 0]}$ το μέγιστο της συνάρτησης $\displaystyle{h}$ είναι το $\displaystyle{h(0)=k}$ , εφόσον $\displaystyle{k\leq \dfrac{1}{2}}$ και το

$\displaystyle{h\left(\dfrac{1-2k}{2}\right)}$ , το οποίο θα είναι μεγαλύτερο του εφόσον $\displaystyle{k >\dfrac{1}{2}}$

στο διάστημα $\displaystyle{[0, +\infty)}$ το πάνω άκρο του συνόλου τιμών της συνάρτησης $\displaystyle{h}$

είναι το μεγαλύτερο από τους αριθμούς $\displaystyle{h(0)=k}$ , και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{h(x)}=1-k}$

δηλαδή,

το $\displaystyle{1-k}$ , εφόσον $\displaystyle{k\leq \dfrac{1}{2}}$ και το $\displaystyle{k}$ , εφόσον $\displaystyle{k >\dfrac{1}{2}}$

Άρα η ελάχιστη τιμή του F(0)

θα είναι η συνάρτηση $\displaystyle{g(k)=\left\{\begin{matrix} 1-k, \ \ 0<k\leq \dfrac{1}{2}\\ h\left(\dfrac{1-2k}{2}\right), \ \ k>\dfrac{1}{2} \\ \end{matrix}\right.}$

Συνεπώς $\displaystyle{g\left(\dfrac{1}{4}\right)+g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3}{4}+h(-1)=2e-\dfrac{7}{4}}$

Al.Koutsouridis · #3

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Κώστα για την λύση του. Η άσκηση, όμοια με παραπάνω, μπορεί να λυθεί και με χρήση του $\displaystyle{\int_{}^{} f'(x)dx=f(x)+c, \quad c \in \mathbb{R}}$ . Καταλάθος τοποθέτησα την άσκηση σε αυτό το φάκελο, αν μπορούν οι επιμελητές να την μεταφέρουν στο φάκελο "Ασκησεις σε όλη την ύλη της Γ'".

Για την ιστορία η άσκηση είναι από τεστ προσομοίωσης εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας. Πηγή.

Παραμετρική συνάρτηση με αρχική συνθήκη

Παραμετρική συνάρτηση με αρχική συνθήκη

Re: Παραμετρική συνάρτηση με αρχική συνθήκη

Re: Παραμετρική συνάρτηση με αρχική συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση