Ποτέ μικρότερο

KARKAR · #1

Ο

είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος του

. Δείξτε ότι : $\forall x>-1$

ισχύει : $\sqrt{ax^2+2ax+a^2}\geq \ell n \left(e^a(x+1)\right)$ .

Al.Koutsouridis · #2

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 22, 2024 9:07 am Ο είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος του . Δείξτε ότι : $\forall x>-1$

ισχύει : $\sqrt{ax^2+2ax+a^2}\geq \ell n \left(e^a(x+1)\right)$ .

Η ανισότητα ισοδύναμα γράφεται

$\sqrt{a(x+1)^2+a^2-a} \geq a+\ln (x+1)$ ή $\sqrt{a(x+1)^2+a^2-a} -a \geq \ln (x+1)$ .

Θέτουμε $x+1=t, \quad t>0$ και έχουμε να δείξουμε ότι

$\sqrt{at^2+a^2-a} -a \geq \ln t$ . Από την γνωστή ανισότητα $t-1 \geq \ln t$ αρκεί να δείξουμε ότι

$\sqrt{at^2+a^2-a} -a \geq t-1$

Η οποία ισοδύναμα γράφεται

$at^2+a^2-a \geq (t-1+a)^2$

$at^2+a^2-a \geq t^2+2(a-1)t +a^2-2a+1$

$(a-1)t^2-2(a-1)t+a-1 \geq 0$

$(a-1)(t-1)^2 \geq 0$

που ισχύει, αφού a>1

. Άρα ισχύει και η αρχική μας ανίσότητα.

Ποτέ μικρότερο

Ποτέ μικρότερο

Re: Ποτέ μικρότερο

Μέλη σε σύνδεση