Μελετημένος λόγος

KARKAR · #1

: Μελετημένος λόγος.png (7.85 KiB) Προβλήθηκε 1420 φορές

Σημείο

κινείται πάνω στην διχοτόμο της γωνίας $\widehat{AOB}$ . Βρείτε την θέση του

, όταν :

α) SA=SB

.... β) ο λόγος $\dfrac{SA}{SB}$ , γίνει ελάχιστος .... γ) ο λόγος $\dfrac{SA}{SB}$ , γίνει μέγιστος .

Στην τελευταία περίπτωση υπολογίστε την : $\tan\widehat{ASB}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 27, 2025 5:25 am Μελετημένος λόγος.pngΣημείο κινείται πάνω στην διχοτόμο της γωνίας $\widehat{AOB}$ . Βρείτε την θέση του , όταν :

α) .... β) ο λόγος $\dfrac{SA}{SB}$ , γίνει ελάχιστος .... γ) ο λόγος $\dfrac{SA}{SB}$ , γίνει μέγιστος .

Στην τελευταία περίπτωση υπολογίστε την : $\tan\widehat{ASB}$ .

Πρώτα απ' όλα ας βρούμε την εξίσωση της διχοτόμου. Μπορούμε μέσω κλίσεων και χρήση της $\tan 2\theta = \dfrac {2\tan \theta}{1-\tan ^2 \theta }$ όπου εδώ $\tan 2\theta = \dfrac {4}{3}$ . Θα βρούμε $\tan \theta = \dfrac {1}{2}$ , αλλά ας το κάνουμε γεωμετρικά: Είναι OB:OA =5:3

, οπότε η διχοτόμος τέμνει το

σε σημείο που το χωρίζει σε λόγο 5:3

. Εύκολα βρίσκουμε ότ είναι το σημείο (3,3/2)

. Άρα η διχοτόμος είναι η $y= \frac {1}{2} x$ .

Τώρα $SB = \sqrt { (x-3)^2+ (y-4)^2}= \sqrt {(x-3)^2+ (x/2-4)^2}$ και

$SA=\sqrt {(x-3)^2+ (x/2-0)^2}$

α) SA=SB

όταν

. Άρα, λύνουμε, x=4

, οπότε

Για τα μέγιστα και ελάχιστα είναι $\dfrac {SB^2}{SA^2 } = ... = \dfrac {5x^2-40x+10} {5x^2-24x+36}$ . Από εκεί και πέρα είναι άσκηση ρουτίνας που δεν αξίζει την πληκτρολόγιση αλλά ας καταγράψω τα ουσιαστικά συμπεράσματα: Η παράγωγος αυτού είναι

$\dfrac {80(x-2)(x-6)}{(5x^2-24x+36)^2}$

με ακρότατα στα x=2,x=6

. Θα βγει ότι έχει ολικό ελάχιστο στο x=2

και ολικό μέγιστο στο x=6

με αντίστοιχα S(2,1)

και

. Στην δεύτερη περίπτωση είναι $\tan\widehat{ASB}=2$ . Και λοιπά. Όποιος θέλει ας κάνει τις πράξεις κατ' ιδίαν.

KARKAR · #3

Μια γεωμετρική αντιμετώπιση :

: Μελετημένος Γεωμετρικά.png (103.96 KiB) Προβλήθηκε 1346 φορές

Η ισότητα επιτυγχάνεται στο σημείο τομής της μεσοκαθέτου του

με την διχοτόμο (σημείο

) .

Το ελάχιστο όταν το

, είναι το έγκεντρο . Το μέγιστο όταν είναι το

παράκεντρο (

).

Τα δύο τελευταία λόγω επικαιρότητας , βλέπε εκεί και στην παραπομπή , ( εκκρεμότητα Βισβίκη ) .

Μελετημένος λόγος

Μελετημένος λόγος

Re: Μελετημένος λόγος

Re: Μελετημένος λόγος

Μέλη σε σύνδεση