Ακραίες καταστάσεις

KARKAR · #1

: Ακραίες καταστάσεις.png (5.92 KiB) Προβλήθηκε 1418 φορές

$\bigstar$ Σημείο

, κινείται στην πλευρά

του διαστάσεων $a\times b$ , ορθογωνίου

ABCD

. Η κάθετη του τμήματος

στο

, τέμνει την

στο σημείο

.

Υπολογίστε το ελάχιστο του

και το μέγιστο του (STC)

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Απρ 24, 2025 7:06 pm Ακραίες καταστάσεις.png $\bigstar$ Σημείο , κινείται στην πλευρά του διαστάσεων $a\times b$ , ορθογωνίου

. Η κάθετη του τμήματος στο , τέμνει την στο σημείο .

Υπολογίστε το ελάχιστο του και το μέγιστο του .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και από την ομοιότητα των τριγώνων ABS, TCS

είναι

$\displaystyle \frac{a}{{b - x}} = \frac{x}{y} \Leftrightarrow y = \frac{{x(b - x)}}{a}$ και $\displaystyle DT = a - y = \frac{1}{a}({x^2} - bx + {a^2})$ που έχει

ελάχιστη τιμή $\boxed{D{T_{\min }} = \frac{{4{a^2} - {b^2}}}{{4a}}}$ όταν $\boxed{x=\frac{b}{2}}$ δηλαδή όταν το

μ είναι μέσο του BC.

: Ακραίες καταστάσεις.png (8.44 KiB) Προβλήθηκε 1310 φορές

$\displaystyle 2(STC) = y(b - x) \Leftrightarrow (STC) = f(x) = \frac{{x{{(b - x)}^2}}}{{2a}}$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{{2a}}(x - b)(3x - b)$

και παρουσιάζει για $\boxed{x=\frac{b}{3}}$ μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{f\left( {\frac{b}{3}} \right) = \frac{{2{b^3}}}{{27a}}}$

konargyr14 · #3

Καλησπέρα. Μια γεωμετρική προσπάθεια.
α) Έστω

το μέσον της

και έστω η κάθετη από το

προς την

τέμνει την πλευρά

στο

. Θα δείξουμε ότι $\min DT =DF$ . Είναι $\widehat{AEF} = \widehat{ADF} =90^\circ$ , οπότε το τετράπλευρο AEFD

είναι εγγράψιμμο, με το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του, έστω $\omega$ να είναι το μέσον της

, έστω

. To

είναι τραπέζιο και το τμήμα

διάμεσός του, άρα:

$KE \parallel AB$ , όμως $AB \perp BC \Longrightarrow KE \perp BC$ , που σημαίνει ότι η

εφάπτεται του $\omega$ στο

.

Έστω τώρα, εις άτοπο, ότι υπάρχει σημείο

επί της

, διαφορετικό του

, τέτοιο ώστε αν η κάθετη από το

προς το

τέμνει την

στο

, να ισχύει DT' < DF

. Αν

η ακτίνα του $\omega$ , τότε το

θα βρίσκεται εκτός του $\omega$ (αφού αυτός εφάπτεται της

στο

). Όμοια με πριν, το AST'D

είναι εγράψψιμο σε κύκλο, έστω $\omega'$ με ακτίνα

. Αν

το μέσον του AT'

, τότε to

είναι το κέντρο του $\omega'$ και άρα SI = r'

. Επειδή

, το

θα βρίσκεται μεταξύ των D,F

, οπότε $AT' < AF \Longrightarrow AI < AK$ , δηλαδή r'<r

. Τα

είναι συνευθειακά ( αφού $KI \parallel DC$ και $KE \parallel AB \parallel DC$ ), οπότε τελικά:

r' = SI > IE

(ως υποτείνουσα στο ορθωγώνιο τρίγωνο $\triangle I ES$ ) και $IE > KE = r \Longrightarrow r' > r$ , άτοπο.

Εύκολα τώρα από την ομοιότητα των τριγώνων $\triangle AEB, \triangle EFC$ παίρνουμε:

$\cfrac{FC}{CE} = \cfrac{EB}{AB} \Longleftrightarrow FC = CE \cdot \cfrac{EB}{AB} = \frac{b}{2}\cdot \cfrac{\frac{b}{2}}{a} = \cfrac{b^2}{4a}$ .

Άρα $\min DT = DF = a - FC = a - \cfrac{b^2}{4a}$

β) Τα τρίγωνα $\triangle ABS, \triangle SCT$ είναι όμοια, οπότε:

$\cfrac{(SCT)}{(ABS)} = \cfrac{CS^2}{AB^2} \Longleftrightarrow (SCT) = \cfrac{CS^2}{AB^2} \cdot (ABS)= = \cfrac{CS^2}{AB^2} \cdot \cfrac{AB \cdot BS}{2} = \cfrac{CS^2 \cdot BS}{2AB}$

Παρατηρούμε τώρα ότι το άθροισμα $\cfrac{\frac{CS}{2}}{\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{AB}} + \cfrac{\frac{CS}{2}}{\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{AB}} + \cfrac{BS}{\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{AB}} = \cfrac{b}{\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{a}}$

είναι σταθερό, ανεξάρτητο από την θέση του

, οπότε από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου παίρνουμε:

$\cfrac{b}{3 \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{a}} \geq \sqrt[3]{\cfrac{\frac{CS}{2}}{\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{AB}} \cdot \cfrac{\frac{CS}{2}}{\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{AB}} \cdot \cfrac{BS}{\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{AB}}} \Longleftrightarrow$

$\cfrac{\sqrt[3]{2}b}{3\sqrt[3]{a}} \geq \sqrt[3]{\cfrac{CS^2 \cdot BS}{2AB}} \Longleftrightarrow \cfrac{CS^2 \cdot BS}{2AB} = (SCT) \leq \cfrac{2b^3}{27a}$

Άρα η μέγιστη τιμή του εμβαδού του (SCT)

είναι $\cfrac{2b^3}{27a}$ και επιτυγχάνεται όταν $\cfrac{CS}{2} = BS$ , δηλαδή όταν το

χωρίζει το τμήμα

σε λόγο $\cfrac{BS}{SC} = \cfrac{1}{2}$

Κωνσταντίνος

: 4.PNG (54.69 KiB) Προβλήθηκε 1305 φορές

Ακραίες καταστάσεις

Ακραίες καταστάσεις

Re: Ακραίες καταστάσεις

Re: Ακραίες καταστάσεις

Μέλη σε σύνδεση