Εύρεση συνάρτησης

Ιστοσελίδα · #1

Να βρεθούν οι συναρτήσεις που είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , των οποίων η κλίση κάθε χορδής της γραφικής τους
παράστασης ισούται με το μέσο όρο των κλίσεων των εφαπτόμενων στα άκρα της χορδής.

Dimessi · #2

Για κάθε

x\neq y \in \mathbb{R}: \dfrac{f\left ( x \right )-f\left ( y \right )}{x-y}=\dfrac{f'\left ( x \right )+f'\left ( y \right )}{2} \left ( 1 \right )

.
Για

είναι

\dfrac{f\left ( x \right )-f\left ( 0 \right )}{x}=\dfrac{f'\left ( x \right )+f'\left ( 0 \right )}{2},

για κάθε

x\in \mathbb{R^{\ast }}.

Επομένως

xf'\left ( x \right )+f'\left ( 0 \right )x=2f\left ( x \right )-2f\left ( 0 \right ) \Longrightarrow \dfrac{x^{2}f'\left ( x \right )-2xf\left ( x \right )}{x^{4}}=-\dfrac{2f\left ( 0 \right )+f'\left ( 0 \right )x}{x^{3}}\Longrightarrow

\Longrightarrow \dfrac{d}{dx}\left ( \dfrac{f\left ( x \right )}{x^{2}} \right )=\dfrac{d}{dx} \left ( \dfrac{f\left ( 0 \right )}{x^{2}}+\dfrac{f'\left ( 0 \right )}{x} \right ) ,

για κάθε

x\in \mathbb{R^{\ast }}.

Άρα

f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} c_{1}x^{2}+f'\left ( 0 \right )x+f\left ( 0 \right ), x< 0 & \\ c_{2}x^{2}+f'\left ( 0 \right )x+f\left ( 0 \right ),x> 0& \\ f\left ( 0 \right ),x=0 \end{matrix}\right. .

Για κάθε

x , y >0

με $x\neq y$ παίρνουμε

\dfrac{c_{2}\left ( x^{2}-y^{2} \right )+f'\left ( 0 \right )\left ( x-y \right )}{x-y}=\dfrac{2c_{2}x +f'\left ( 0 \right )+2c_{2}y+f'\left ( 0 \right )}{2}\Longleftrightarrow c_{2}\left ( x+y \right )+f'\left ( 0 \right )=c_{2}\left ( x+y \right )+f'\left ( 0 \right ),

άρα ικανοποιείται η σχέση (1)

.
Για κάθε x,y <0

με $x\neq y$ ομοίως ικανοποιείται η σχέση (1)

.
Για κάθε ετερόσημο ζεύγος (x,y)

, χωρίς βλάβη έστω

x>0>y,

παίρνουμε από την (1)

\dfrac{c_{2}x^{2}+f'\left ( 0 \right )x-c_{1}y^{2}-f'\left ( 0 \right )y}{x-y}=\dfrac{2c_{2}x+f'\left ( 0 \right )+2c_{1}y+f'\left ( 0 \right )}{2} \Longleftrightarrow \dfrac{c_{2}x^{2}-c_{1}y^{2}}{x-y}=c_{2}x+c_{1}y \Longleftrightarrow \left ( c_{1}-c_{2} \right )xy=0 \Longleftrightarrow

\Longleftrightarrow c_1=c_2

.
Συνεπώς

f\left ( x \right )=c_{1}x^{2}+f'\left ( 0 \right )x+f\left ( 0 \right ),

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , που ικανοποιούν την σχέση (1)

.

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση