Ύπαρξη

#1

Παραλλαγή μιας άσκησης του αείμνηστου Ροδόλφου

Αν η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,2]

με συνεχή παράγωγο

{{f}^{\prime }}

, και ισχύουν οι σχέσεις:

{{f}^{\prime }}(0)>0

και

, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,2)$ τέτοιο ώστε:

{{f}^{\prime }}(\xi )=3{{\xi }^{2}}

Dimessi · #2

Για τον αείμνηστο κ. Ροδόλφο.
Δε χρειάζεται η συνέχεια της

στο

το μόνο που χρειάζεται είναι το

\lim f'(x)=f'(0)

καθώς $x\rightarrow 0^{+}$ .
Έστω ότι

f'\left ( y \right )\neq 3y^{2} \Longrightarrow \left ( f\left ( y \right )-y^{3} \right )'\neq 0

στο $\left ( 0,2 \right )$
τότε από Darboux η

\left ( f\left ( x \right )-x^{3} \right )'

διατηρεί πρόσημο στο $\left ( 0,2 \right )$
και άρα

g\left ( y \right )=f\left ( y \right )-y^{3}

γνήσια μονότονη στο

\left [ 0,2 \right ]

με

g\left ( 2 \right )-g\left ( 0 \right )=f\left ( 2 \right )-f\left ( 0 \right )-8=-4< 0,

άρα

γνήσια φθίνουσα στο

\left [0,2 \right]

με την

να διατηρεί πρόσημο στο

\left (0,2 \right)

οπότε

g'\left ( y \right )< 0\Longrightarrow f'\left ( y \right )< 3y^{2}

στο

\left (0,2 \right)

και συνεπώς

\lim_{y \to 0^{+}} f'\left ( y \right )\leqslant 0 \Longrightarrow f'(0)\leqslant 0

, άτοπο.
Οπότε

\exists \xi \in \left ( 0,2 \right ):f'\left ( \xi \right )=3\xi ^{2}

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

exdx έγραψε: Πέμ Οκτ 15, 2026 12:12 pm Παραλλαγή μιας άσκησης του αείμνηστου Ροδόλφου

Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα με συνεχή παράγωγο ${{f}^{\prime }}$ , και ισχύουν οι σχέσεις: ${{f}^{\prime }}(0)>0$ και , να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,2)$ τέτοιο ώστε: ${{f}^{\prime }}(\xi )=3{{\xi }^{2}}$

Διαγράφτηκε η δημοσίευση λόγω λανθασμένης παραδοχής

abgd · #4

exdx έγραψε: Πέμ Οκτ 15, 2026 12:12 pm Παραλλαγή μιας άσκησης του αείμνηστου Ροδόλφου

Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα με συνεχή παράγωγο ${{f}^{\prime }}$ , και ισχύουν οι σχέσεις: ${{f}^{\prime }}(0)>0$ και , να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,2)$ τέτοιο ώστε: ${{f}^{\prime }}(\xi )=3{{\xi }^{2}}$

Μάλλον κάπου κάνω λάθος στην παρακάτω προσέγγιση, αφού δεν χρησιμοποιώ το δεδομένο της συνέχειας της

Δεν βλέπω το λάθος και... το αφήνω σαν άσκηση

Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση

g: g(x)=f(x)-x^3, \ \ x \in [0,2]

έχει μέγιστη τιμή στο τότε: $g(2)\geq g(0)\Leftrightarrow f(2)-f(0)\geq 8$ άτοπο.

έχει μέγιστη τιμή στο τότε: $g(0)\geq g(x)\Leftrightarrow \dfrac{f(x)-f(0)}{x}\leq x^2 \Rightarrow f'(0)\leq 0$ άτοπο.

Συνεπώς η

θα έχει μέγιστη τιμή σε κάποιο $\xi \in (0,2)$ οπότε, από το Fermat ,

g'(\xi)=0\Leftrightarrow f'(\xi)=3\xi^2

#5

Όντως δεν χρειάζεται η συνέχεια της {f}'

.
Η άσκηση γράφτηκε έτσι για να παρασύρει το λύτη σε αποτυχημένες προσπάθειες εφαρμογής των θεωρημάτων Rolle,Bolzano,ΘΜΤ και τελικά ένα επιτυχημένο συνδυασμό :
ΘΜΤ στην

g(x) = f(x) - x^3

στο

,οπότε υπάρχει

{{x}_{o}}:g({{x}_{o}})=-2<0

και κατόπιν Bolzano για την

g^{\prime }

στο

.
Όμως ο συνδυασμός του θεωρήματος μέγιστης – ελάχιστης τιμής και του θεωρήματος Fermat αποδεικνύεται πιο ισχυρός.

Ύπαρξη

Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση