Εύρεση τύπου

orestisgotsis · #1

Περιττό

Θεοδωρος Παγωνης · #2

Είναι $\displaystyle{f(x)=\int\limits_{0}^{x}{\left( \int\limits_{{}}^{u}{\left( {{\left( {f}'(t) \right)}^{2}}-{{e}^{-t+f(t)}} \right)dt} \right)du}}$ , άρα $\displaystyle{{f}'(x)=\int\limits_{0}^{x}{\left( {{\left( {f}'(t) \right)}^{2}}-{{e}^{-t+f(t)}} \right)}dt\Rightarrow {{f}'}'(x)={{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}-{{e}^{-x+f(x)}}\Leftrightarrow \frac{{{f}'}'(x)-{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}}{{{e}^{f(x)}}}=-{{e}^{-x}}\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{{{\left( \frac{{f}'(x)}{{{e}^{f(x)}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{-x}} \right)}^{\prime }}}$ , άρα $\displaystyle{\frac{{f}'(x)}{{{e}^{f(x)}}}={{e}^{-x}}+c}$ και για $\displaystyle{x=0}$ έχω $\displaystyle{\frac{{f}'(0)}{{{e}^{f(0)}}}={{e}^{-0}}+c\Leftrightarrow c=-1}$ , οπότε $\displaystyle{\frac{{f}'(x)}{{{e}^{f(x)}}}={{e}^{-x}}-1\Leftrightarrow {f}'(x){{e}^{-f(x)}}={{e}^{-x}}-1\Leftrightarrow {{\left( -{{e}^{-f(x)}} \right)}^{\prime }}={{\left( -{{e}^{-x}}-x \right)}^{\prime }}}$ , άρα $\displaystyle{-{{e}^{-f(x)}}=-{{e}^{-x}}-x+c}$ και για $\displaystyle{x=0}$ έχω $\displaystyle{-{{e}^{-f(0)}}=-{{e}^{-0}}-0+c\Leftrightarrow c=0}$ , επομένως $\displaystyle{-{{e}^{-f(x)}}=-{{e}^{-x}}-x\Leftrightarrow {{e}^{-f(x)}}={{e}^{-x}}+x}$
Γνωρίζω ότι για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{{{e}^{x}}>x}$ , οπότε αν θέσω όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{-x}$ έχω $\displaystyle{{{e}^{-x}}>-x\Leftrightarrow {{e}^{-x}}+x>0}$ .
Άρα $\displaystyle{f(x)=-\ln \left( {{e}^{-x}}+x \right)}$ .

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση