Aριθμητική

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε $\displaystyle{\int_{0}^{2}\left ( \int_{0}^{1}f(x)ydy \right )dz=\int_{0}^{1}\left ( 3t^2x^3+6tx-1 \right )dt}$ .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να αποδειχθεί οτι είναι 1-1

3) Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=ln^2x

έχει μοναδική λύση

4) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{a}^{b}f^{-1}(x)dx}$ με $a,b \in R$ κατάλληλα άκρα.

5) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{-1}^{3}\left ( f^{-1}(x) \right )^{10}dx+10\int_{0}^{1}x^{9}f(x)dx}$

6) Να υπολογιστούν τα όρια $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( f(x) \right )^{lnx}}$ και $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} \right )^{f(x)}}$

Ratio · #2

Μήπως πρέπει να ελεχθούν τα ορια της ολοκλήρωσης στο (3) ;

#3

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε $\displaystyle{\int_{0}^{2}\left ( \int_{0}^{1}f(x)ydy \right )dz=\int_{0}^{1}\left ( 3t^2x^3+6tx-1 \right )dt}$ .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να αποδειχθεί οτι είναι

3) Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση έχει μοναδική λύση

4) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{a}^{b}f^{-1}(x)dx}$ με $a,b \in R$ κατάλληλα άκρα.

5) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{-1}^{3}\left ( f^{-1}(x) \right )^{10}dx+10\int_{0}^{1}x^{9}f(x)dx}$

6) Να υπολογιστούν τα όρια $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( f(x) \right )^{lnx}}$ και $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} \right )^{f(x)}}$

...μια αντιμετώπιση...

1) Από $\displaystyle{\int_{0}^{2}\left ( \int_{0}^{1}f(x)ydy \right )dz=\int_{0}^{1}\left ( 3t^2x^3+6tx-1 \right )dt}$ έχουμε ισοδύναμα

$\int\limits_{0}^{2}{\left( f(x)\int\limits_{0}^{1}{ydy} \right)}dz=\left[ {{x}^{3}}{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}x-t \right]_{0}^{1}\Leftrightarrow f(x)\int\limits_{0}^{1}{ydy}\int\limits_{0}^{2}{dz}={{x}^{3}}+3x-1\Leftrightarrow$

$f(x)\left[ \frac{{{y}^{2}}}{2} \right]_{0}^{1}\left[ z \right]_{0}^{2}={{x}^{3}}+3x-1\Leftrightarrow f(x)\cdot \frac{1}{2}\cdot 2={{x}^{3}}+3x-1\Leftrightarrow f(x)={{x}^{3}}+3x-1$

2) Επειδή η

είναι παραγωγίσιμη στο

με ${f}'(x)=3{{x}^{2}}+3>0$ είναι γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'

.

3) Η εξίσωση $f(x)=l{{n}^{2}}x\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x-1-{{\ln }^{2}}x=0$ οπότε για την συνάρτηση $g(x)={{x}^{3}}+3x-1-{{\ln }^{2}}x,\,\,\,x>0$

που είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών ισχύουν ότι g(1)=3>0

και

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{3}}+3x-1-{{\ln }^{2}}x)=-\infty$

αφού $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{\ln }^{2}}x)=+\infty$ οπότε υπάρχει a>0

με

επομένως

και σύμφωνα με το Θ. Β. υπάρχει ${{x}_{0}}\in (a,\,\,1)$ με $g({{x}_{0}})=0$ .

Τώρα η

είναι παραγωγίσιμη με ${g}'(x)=3{{x}^{2}}+3-2\frac{\ln x}{x}=\frac{3{{x}^{3}}+3x-2\ln x}{x},\,\,\,\,x>0$ και η

$h(x)=3{{x}^{3}}+3x-2\ln x$ αν έχει ρίζα κάποιο ${{x}_{1}}>0$ τότε θα είναι είναι

$3x_{1}^{3}+3{{x}_{1}}-2\ln {{x}_{1}}=0\Leftrightarrow 3x_{1}^{3}+3{{x}_{1}}=2\ln {{x}_{1}}\le 2({{x}_{1}}-1)$ (από γνωστή εφαρμογή)

επομένως θα ισχύει ότι $3x_{1}^{3}+3{{x}_{1}}\le 2({{x}_{1}}-1)\Leftrightarrow 3x_{1}^{3}+{{x}_{1}}+2\le 0$ που είναι άτοπο αφού

${{x}_{1}}>0$ άρα $h(x)\ne 0$ και επειδή είναι συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο, και αφού h(1)=6>0

είναι

επομένως η ${g}'(x)=\frac{h(x)}{x}>0,\,\,\,\,x>0$ άρα η

γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'

οπότε ${{x}_{0}}\in (a,\,\,1)$

μοναδική ρίζα της

.

4)( …εδώ πρέπει απαραίτητα να δοθεί η συνέχεια της ${{f}^{-1}}$ για το $[a,\,\,\beta ]$ ) και με δεδομένο αυτό αν

$u={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(u)=x$ και {f}'(u)du=dx

και $x=a\to u={{f}^{-1}}(\alpha ),\,\,\,x=\beta \to u={{f}^{-1}}(\beta )$

και $\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{-1}}}(x)dx=\int\limits_{{{f}^{-1}}(a)}^{{{f}^{-1}}(\beta )}{u{f}'(u)du}=\left[ uf(u) \right]_{{{f}^{-1}}(a)}^{{{f}^{-1}}(\beta )}-\int\limits_{{{f}^{-1}}(a)}^{{{f}^{-1}}(\beta )}{f(u)du}=$

$=\beta {{f}^{-1}}(\beta )-\alpha {{f}^{-1}}(\beta )-\int\limits_{{{f}^{-1}}(a)}^{{{f}^{-1}}(\beta )}{f(u)du}$

5) Για το $\int\limits_{-1}^{3}{{{\left( {{f}^{-1}}(x) \right)}^{10}}}dx$ με $u={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(u)=x$ και {f}'(u)du=dx

και

$x=-1\to u=0,\,\,\,x=3\to u=1$ και $\int\limits_{-1}^{5}{{{\left( {{f}^{-1}}(x) \right)}^{10}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( u \right)}^{10}}}{f}'(u)du=\left[ {{u}^{10}}f(u) \right]_{0}^{1}-10\int\limits_{0}^{1}{{{u}^{9}}}f(u)du\Leftrightarrow$

$\int\limits_{-1}^{5}{{{\left( {{f}^{-1}}(x) \right)}^{10}}}dx+10\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{9}}}f(x)dx=\left[ {{u}^{10}}f(u) \right]_{0}^{1}=f(1)=3$

...τώρα

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για το 6) που άφησε ο Βασίλης.

Γενικότερα αν $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$ και

$\lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)^{g(x)}=\infty$

Επειδή $e^{x}\geq 1+x> x$ (προκύπτει άμεσα από την $lnx\leq x-1$ που έχει το σχολικό)

Εχουμε $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}> g(x)lnf(x)$ (1)

Αφου $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$ και $\lim_{x\rightarrow \infty }lnf(x)=\infty$

(θέσε u=f(x)

)

Η (1) παίρνοντας όρια δίνει το ζητούμενο.

Aριθμητική

Aριθμητική

Re: Aριθμητική

Re: Aριθμητική

Re: Aριθμητική

Μέλη σε σύνδεση