ανάλυση

[chris_gatos]

Καλησπέρα σας και χρόνια πολλά!
Έστω μια συνάρτηση f ,δύο φορές παραγωγίσιμη με f''(x)>0 για κάθε χ στο [α,β].Να βρείτε τα σημεία κ του
[α,β],στα οποία το εμβαδόν της επιφάνειας ανάμεσα στη γραφική παράσταση της f,την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο (κ,f(κ)) και τις ευθείες χ=α,χ=β,γίνεται ελάχιστο...

[nsmavrogiannis]

Χρήστο είναι πολύ ωραία άσκηση και σε ευχαριστούμε.
Αν είναι η τετμημένη του σημείου επαφής της τυχούσας εφαπτομένης τότε το εμβαδόν που μας ενδιαφέρει είναι

Με λίγες πράξεις βρίσκουμε ότι είναι

Επομένως το εμβαδόν ελαχιστοποείται όταν το γίνει το μέσον του διαστήματος .
Για την αυριανή γιορτή σου εύχομαι χρόνια πολλά.
Εύχομαι ως την επόμενη γιορτή σου να έχεις πετύχει όλους τους τωρινούς στόχους σου και να βάλεις άλλους ψηλότερους.
Μαυρογιάννης

[chris_gatos]

Να είστε καλά κύριε Μαυρογιάννη και να χαίρεστε την οικογένεια σας.Ευχαριστώ πάρα πολύ για τις ευχές σας!
Χρόνια πολλά σε όσους αγωνίζονται για μια καλύτερη ζωή,ένα καλύτερο κόσμο, μια καλύτερη παιδεία...
Ξέρω πολύ καλά,πως είστε κι εσείς μέσα σε αυτούς....

[Mihalis_Lambrou]

Νίκο, με πρόλαβες.
Έγραφα λιγο μετά από σένα τα ακόλουθα:


Χαριτωμένη άσκηση.

Λύση: Αφού το γράφημα της f μένει σταθερό, το ζητούμενο ελάχιστο προκύπτει από το μέγιστο του εμβαδού του τραπεζίου από x = a έως x = b και μεταξύ του άξονα των x και της εφαπτομένης στο (k, f(k)) , δηλαδή της y = f’(k)(x-k) + f(k).
Γράφοντας το εν λόγω εμβαδόν, θα καταλήξουμε να ζητάμε το μέγιστο της
g(k) = f ‘(a + b – 2k) + 2f(k).
Είναι g ‘(k) = ... = f’’(k)( a + b – 2k) που μηδενίζεται για k= (a+b)/2 ενώ είναι θετική
πριν το (a+b)/2 και αρνητική μετά, και λοιπά.

Χρίστο και λοιποί φίλοι,

Καλές Γιορτές

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.