Ψάχνοντας συνάρτηση

M.S.Vovos · #1

Να βρεθεί, εφόσον υπάρχει, συνεχής συνάρτηση $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε:

$\displaystyle{\left | \int_{-1}^{0}f(t)\mathrm{d}t-\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t \right |=\int_{-1}^{1}\left |f(t) \right |\mathrm{d}t=1}$

Φιλικά,
Μάριος.

#2

M.S.Vovos έγραψε: Δευ Απρ 12, 2021 11:29 pm Να βρεθεί, εφόσον υπάρχει, συνεχής συνάρτηση $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε:

$\displaystyle{\left | \int_{-1}^{0}f(t)\mathrm{d}t-\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t \right |=\int_{-1}^{1}\left |f(t) \right |\mathrm{d}t=1}$

Αν θέλεις απλά να βρούμε μία (και όχι όλες) τέτοια συνάρτηση, απλά παίρνουμε f(x)=x

. Κάνει την δουλειά για τετριμμένους λόγους αφού $\displaystyle{\int _{-1}^0xdx = - \dfrac {1}{2},\, \int _{0}^1xdx = \dfrac {1}{2}}$

Χάνω κάτι;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

M.S.Vovos έγραψε: Δευ Απρ 12, 2021 11:29 pm Να βρεθεί, εφόσον υπάρχει, συνεχής συνάρτηση $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε:

$\displaystyle{\left | \int_{-1}^{0}f(t)\mathrm{d}t-\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t \right |=\int_{-1}^{1}\left |f(t) \right |\mathrm{d}t=1}$

Φιλικά,
Μάριος.

Εχουμε

$\displaystyle | \int_{-1}^{0}f(t)dt-\int_{0}^{1}f(t)dt| =\int_{-1}^{1}|f(t)| dt}$

Είναι
$\displaystyle\int_{-1}^{1}|f(t)| dt=| \int_{-1}^{0}f(t)dt-\int_{0}^{1}f(t)dt|\leq \int_{-1}^{0}|f(t)|dt+\int_{0}^{1}|f(t)|dt=\int_{-1}^{1}|f(t)| dt$
Αρα έχουμε στις ανισότητες ισότητες που σημαίνει ότι
η

είναι μη αρνητική στο (-1,0)

και μη θετική στο (0,1)

η ανάποδα.

κλπ
Φυσικά υπάρχουν άπειρες τέτοιες συναρτήσεις.

Ψάχνοντας συνάρτηση

Ψάχνοντας συνάρτηση

Re: Ψάχνοντας συνάρτηση

Re: Ψάχνοντας συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση