Εμβαδόν σε ανίσωση

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x^2}$ .

Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Αν $\mathrm{E}$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται της $\mathcal{C}_f$ , του άξονα και των ευθειών , τότε να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{e^2}{4} < \mathrm{E} < \frac{e^3}{9}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 01, 2021 10:48 am
Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x^2}$ .

Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Αν $\mathrm{E}$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται της $\mathcal{C}_f$ , του άξονα και των ευθειών , τότε να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{e^2}{4} < \mathrm{E} < \frac{e^3}{9}}$

i. $\displaystyle f'(x) = \frac{{{e^x}(x - 2)}}{{{x^3}}},x \ne 0.$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle ( - \infty ,0),[2, + \infty )$ και γνησίως φθίνουσα στο (0,2].

Στο $\displaystyle {x_0} = 2$ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ίσο με $\displaystyle \frac{{{e^2}}}{4}.$

ii. Λόγω μονοτονίας $\displaystyle 2 \le x \le 3 \Rightarrow f(2) \le f(x) \le f(3) \Leftrightarrow \frac{{{e^2}}}{4} \le f(x) \le \frac{{{e^3}}}{9}$ και το ζητούμενο έπεται.

Εμβαδόν σε ανίσωση

Εμβαδόν σε ανίσωση

Re: Εμβαδόν σε ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση