Επαναληπτικό θέμα...

M.S.Vovos · #1

Με $\sin$ συμβολίζουμε το ημίτονο και με $\cot$ τη συνεφαπτομένη. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,\pi )\longrightarrow \mathbb{R}$ , με $\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1$ τέτοια, ώστε για κάθε $0<x<\pi$ να ισχύει:

$\displaystyle{f'(x)=f(x)\cot (\pi -x)}$

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=f^{2}(x)\sin ^{2}x$ είναι σταθερή στο $(0,\pi)$ και να προσδιορίσετε τον τύπο της .

Για τα ερωτήματα (β') και (γ'), δίνεται ότι $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}$ , $x\in (0,\pi )$ .

Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω $\displaystyle A\left ( x_{1},\frac{1}{\sin x_{1}} \right )$ και $\displaystyle B\left ( x_{2},\frac{1}{\sin x_{2}} \right )$ με $x_{1},x_{2}\in (0,\pi )$ και $x_{1}<x_{2}$ .

Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή στο $(0,\pi)$ . Στη συνέχεια, ορίζουμε ως μέση τιμή $\overline{x}$ το ημιάθροισμα των τετμημένων των σημείων και του ερωτήματος (β'). Να συγκρίνετε τους αριθμούς $\overline{x}$ και $f\left ( \overline{x} \right )$ .

Φιλικά,
Μάριος

Σταμ. Γλάρος · #2

M.S.Vovos έγραψε: Σάβ Φεβ 10, 2018 2:19 pm Με $\sin$ συμβολίζουμε το ημίτονο και με $\cot$ τη συνεφαπτομένη. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,\pi )\longrightarrow \mathbb{R}$ , με $\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1$ τέτοια, ώστε για κάθε $0<x<\pi$ να ισχύει:

$\displaystyle{f'(x)=f(x)\cot (\pi -x)}$
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=f^{2}(x)\sin ^{2}x$ είναι σταθερή στο $(0,\pi)$ και να προσδιορίσετε τον τύπο της .

Για τα ερωτήματα (β') και (γ'), δίνεται ότι $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}$ , $x\in (0,\pi )$ .

Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω $\displaystyle A\left ( x_{1},\frac{1}{\sin x_{1}} \right )$ και $\displaystyle B\left ( x_{2},\frac{1}{\sin x_{2}} \right )$ με $x_{1},x_{2}\in (0,\pi )$ και $x_{1}<x_{2}$ .

Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή στο $(0,\pi)$ . Στη συνέχεια, ορίζουμε ως μέση τιμή $\overline{x}$ το ημιάθροισμα των τετμημένων των σημείων και του ερωτήματος (β'). Να συγκρίνετε τους αριθμούς $\overline{x}$ και $f\left ( \overline{x} \right )$ .
Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Είναι $g'(x)= 2f(x)sin^{2} x (f'(x)-f(x) cotx =0)$ από την δοθείσα. (Ισχύει ότι: $-cot(\pi-x)=cotx$ )
Άρα από Πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ έχουμε ότι g(x)=c

και επειδή $g(\frac{\pi}{2})=1$ , συμπεραίνουμε g(x)=1

.
Άρα $f^2(x)=\dfrac{1}{sin^2x}$ , $\forall x\in (0,\pi )$ .
Επίσης $f(x)\neq 0,\,\,\,\,\forall x\in(0,\pi)$ και επειδή η

είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό
η

διατηρεί πρόσημο. Όμως $f(\frac{\pi}{2})=1>0$ . Άρα f(x)>0

και $f(x) = \dfrac{1}{sinx}$ .

(β) Θεωρώ την g(x)= f(x)-x

. Είναι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}}\left ( \dfrac{1}{sinx}-x \right )=+\infty$ , διότι
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}}\left (sinx \right )=0$ , sinx>0

όταν $x\rightarrow 0^+$ άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}}\left ( \dfrac{1}{sinx} \right )=+\infty$ .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι υπάρχει ένας αριθμός

κοντά στο

ώστε

.
Επί πλέον $h\left (\frac{\pi }{2} \right )=f\left ( \frac{\pi }{2} \right )-\frac{\pi }{2}=1-\frac{\pi }{2}<0$ .
Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano για την

στο $[a,\frac{\pi}{2}]$ .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_1 \in (a, \frac{\pi}{2})$ ώστε h(x_1)=0

δηλαδή

.
Ομοίως εργαζόμενοι στο διάστημα $[\frac{\pi}{2} , \pi]$ προκύπτει h(x_2)=0

δηλαδή

.

Επίσης ισχύει $h'(x)=-\dfrac{cotx}{sinx}-1$ και $h''(x)=f''(x)=\dfrac{1+cos^2 x}{sin^3 x }>0 ,\,\,\,\,\forall x\in\left ( 0,\dfrac{\pi }{2} \right )$ .
Επομένως η

κυρτή (μας χρειάζεται στο γ) και η

γνησίως αύξουσα.
Τώρα αν υποθέσουμε ότι η

έχει τρεις ρίζες στο $(0,\pi)$ ,εφαρμόζοντας δύο φορές το θεώρημα Rolle
στην

προκύπτουν δύο ρίζες στην

, άτοπο αφού η

γνησίως αύξουσα.
Άρα η

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο $(0,\pi)$ .

(γ) Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στην

στο διάστημα $[x_1,\overline{x}]$ έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi _1 \in (x_1 ,\overline{x})$ ώστε $f'(\xi _1)= \dfrac{f(\overline{x})-f(x_1)}{\overline{x}-x_1} = \dfrac{f(\overline{x})-f(x_1)}{\dfrac{x_2-x_1}{2}}$ .
Ομοίως εφαρμόζοντας ΘΜΤ στην

στο διάστημα $[\overline{x} , x_2]$ έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi _2 \in (\overline{x} , x_2)$ ώστε $f'(\xi _2)= \dfrac{f(x_2)-f(\overline{x})}{x_1-\overline{x}} = \dfrac{f(x_2)-f(\overline{x})}{\dfrac{x_2-x_1}{2}}$ .
Όμως η

είναι γνησίως αύξουσα αφού η

είναι κυρτή .
Άρα $f'(\xi _1) <f'(\xi _2)$ , οπότε προκύπτει $f(\overline{x})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}= \dfrac{x_1+x_2}{2} = \overline{x}$ , από το προηγούμενο υποερώτημα.
(Δηλαδή εφαρμόσαμε ανισότητα Jensen....)

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

M.S.Vovos έγραψε: Σάβ Φεβ 10, 2018 2:19 pm Με $\sin$ συμβολίζουμε το ημίτονο και με $\cot$ τη συνεφαπτομένη. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,\pi )\longrightarrow \mathbb{R}$ , με $\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1$ τέτοια, ώστε για κάθε $0<x<\pi$ να ισχύει:

$\displaystyle{f'(x)=f(x)\cot (\pi -x)}$
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=f^{2}(x)\sin ^{2}x$ είναι σταθερή στο $(0,\pi)$ και να προσδιορίσετε τον τύπο της .

Για τα ερωτήματα (β') και (γ'), δίνεται ότι $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}$ , $x\in (0,\pi )$ .

Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω $\displaystyle A\left ( x_{1},\frac{1}{\sin x_{1}} \right )$ και $\displaystyle B\left ( x_{2},\frac{1}{\sin x_{2}} \right )$ με $x_{1},x_{2}\in (0,\pi )$ και $x_{1}<x_{2}$ .

Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή στο $(0,\pi)$ . Στη συνέχεια, ορίζουμε ως μέση τιμή $\overline{x}$ το ημιάθροισμα των τετμημένων των σημείων και του ερωτήματος (β'). Να συγκρίνετε τους αριθμούς $\overline{x}$ και $f\left ( \overline{x} \right )$ .
Φιλικά,
Μάριος

...Καλησπέρα

....

α) Είναι $\displaystyle g(x)=f^{2}(x)\sin ^{2}x$ παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,\pi)$ με ${g}'(x)=2f(x){f}'(x){{\sin }^{2}}x+2{{f}^{2}}(x)\sin x\cos x$ ή

${g}'(x)=2f(x)si{{n}^{2}}x({f}'(x)+f(x)\cot x)=0$ γιατί σύμφωνα με την υπόθεση ${f}'(x)=f(x)\cot (\pi -x)\Leftrightarrow {f}'(x)=-f(x)\cot (x)$

άρα η $g(x)={{f}^{2}}(x){{\sin }^{2}}x$ είναι σταθερή στο $(0,\pi)$ δηλαδή υπάρχει $c\in R$ ώστε

$g(x)=c\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x){{\sin }^{2}}x=c$ στο $(0,\pi)$ και επειδή

$\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1$ είναι ${{f}^{2}}(\frac{\pi }{2}){{\sin }^{2}}\frac{\pi }{2}=c\Leftrightarrow 1=c$ επομένως

${{f}^{2}}(x){{\sin }^{2}}x=1\ne 0\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\Leftrightarrow |f(x)|=\frac{1}{\sin x}$ αφού

$\sin x>0,\,\,x\in (0,\,\pi )$ και ακόμη επειδή από την ισότητα επίσης $f(x)\ne 0,\,\,x\in (0,\,\pi )$ και συνεχής

άρα έχει σταθερό πρόσημο , με $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1>0$ έτσι και $f(x)>0,\,\,x\in (0,\,\pi )$ , επομένως $f(x)=\frac{1}{\sin x},\,\,x\in (0,\,\pi )$

β) Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση $f(x)=x\Leftrightarrow \frac{1}{\sin x}=x\Leftrightarrow \frac{1}{\sin x}-x=0$ έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα $(0,\,\pi )$ .

Γι αυτό θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{\sin x}-x,\,\,x\in (0,\,\pi )$ που είναι συνεχής με

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{\sin x}-x)=+\infty$ άρα υπάρχει

$\alpha >0,\,\,g(a)>0$ και $g(\frac{\pi }{2})=1-\frac{\pi }{2}<0$ και με $\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{\sin x}-x)=+\infty$ άρα υπάρχει

$\beta <\pi ,\,\,g(\beta )>0$ επομένως $g(a)(g(\frac{\pi }{2})<0,\,\,g(\beta )g(\frac{\pi }{2})<0$ και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano

υπάρχουν ${{x}_{1}}\in (a,\,\frac{\pi }{2}),\,\,{{x}_{2}}\in (\frac{\pi }{2},\,\beta )$ ώστε $g({{x}_{1}})=g({{x}_{2}})=0$ .

Αν υποθέσουμε τώρα ότι η g(x)=0

έχει τρείς ρίζες $0<{{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}}<\pi$ τότε στα διαστήματα

$[{{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}}],\,\,\,[{{\rho }_{2}},\,{{\rho }_{3}}]$ αφού η

παραγωγίσιμη με ${g}'(x)=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}-1,\,\,x\in (0,\,\pi )$

σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle η {g}'(x)=0

θα έχει δύο ρίζες στο $(0,\,\,\pi )$ που είναι άτοπο γιατι

${g}''(x)=...=\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0,\,\,x\in (0,\,\pi )$ οπότε η {g}'

γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'

γ) Είναι ${f}'(x)=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x},\,\,x\in (0,\,\pi )$ και ${f}''(x)=\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0,\,\,x\in (0,\,\pi )$ άρα η

είναι κυρτή στο $(0,\pi)$ . Τώρα $\bar{x}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\,\,f(\bar{x})=f\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2} \right)$ και

εφαρμόζοντας το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα $[{{x}_{1}},\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}],\,\,[\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\,{{x}_{2}}]$

λόγω της μονοτονίας της {f}'

προκύπτει ότι $f(\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2})<\frac{f({{x}_{1}})+f({{x}_{2}})}{2}$ και επειδή από (β)

$f({{x}_{1}})={{x}_{1}},\,f({{x}_{2}})={{x}_{2}}$ ισχύει ότι

$f(\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2})<\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}\Leftrightarrow f(\bar{x})<\bar{x}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Επαναληπτικό θέμα...

Επαναληπτικό θέμα...

Re: Επαναληπτικό θέμα...

Re: Επαναληπτικό θέμα...

Μέλη σε σύνδεση