Ώρα για επανάληψη

#1

A) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα τη συνάρτηση $f(x)=x\ln x$ και να υπολογίσετε

το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_1^e {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + f(x)}}dx}$

Β) Δίνονται επιπλέον οι συναρτήσεις $\displaystyle g(x) = \frac{{\ln x}}{{\ln (x + 1)}},x > 0$ και $\displaystyle h(x) = {(\ln x)^2} - \ln (x + 1)\ln (x - 1),x > 1$

α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης

β) Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{h(x)}}{{\ln (x + 1)\ln (x - 1)}}$ και να δείξετε ότι h(x)>0.

Γ) Να δείξετε ότι $\displaystyle {x^x}{(4 - x)^{4 - x}} \ge 16,$ για κάθε $\displaystyle x \in (0,4)$

Επεξεργασία: Άλλαξα το πρώτο σκέλος του Ββ) που ζητούσα αρχικά τις ασύμπτωτες της C_h.

#2

george visvikis έγραψε: Τρί Μαρ 26, 2019 7:42 pm A) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα τη συνάρτηση $f(x)=x\ln x$ και να υπολογίσετε

το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_1^e {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + f(x)}}dx}$

...για το Α...

Α) Είναι ${f}'(x)=\ln x+1,\,\,{f}''(x)=\frac{1}{x}>0$ οπότε η συνάρτηση είναι κυρτή στο $A=(0,\,+\infty )$ και επειδή

${f}'(\frac{1}{e})=0$ για $0<x<\frac{1}{e}\Rightarrow {f}'(x)<0$ άρα

είναι γνήσια φθίνουσα στο

$(0,\,\,\frac{1}{e}]$ και για $x>\frac{1}{e}\Rightarrow {f}'(x)>0$ άρα

είναι γνήσια αύξουσα στο $[\frac{1}{e},\,\,+\infty )$

Ακόμη $I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}+f(x)}dx}=\int\limits_{1}^{e}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}+x\ln x}dx}=\int\limits_{1}^{e}{\frac{x+1}{x(x+\ln x)}dx}=$

$=\int\limits_{1}^{e}{\frac{1+\frac{1}{x}}{x+\ln x}dx}=\int\limits_{1}^{e}{\frac{(x+\ln x{)}'}{x+\ln x}dx}=\int\limits_{1}^{e}{{{\left( \ln |x+\ln x| \right)}^{\prime }}dx}=\left[ ln|x+\ln x| \right]_{1}^{e}=\ln (e+1)$

...τώρα

αύριο πάλι..

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Chagi · #3

Καλησπέρα !!

Για το Β:

α)
${g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}$
με x>1

.
Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της

.

Αφού

προφανώς ο αριθμητής της {g}'

είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της

θετική (αφού η

γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$ .
Οπότε η

γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$ .

β)
Για το όριο :

Εύκολα με ντελοπιταλ βγαίνει ίσο με

.

Θα δείξουμε ότι h(x)>0

.

Είναι $h(x)>0\Rightarrow \frac{\ lnx}{\ ln(x+1)}>\frac{\ln(x-1)}{\ lnx}\Rightarrow g(x)>g(x-1) \Rightarrow x>x-1$ . Το οποίο ισχύει για κάθε x>2

.

Αν $1<x\leq2$ , τότε
$h(x)>0\Rightarrow \ lnx\ lnx> \ ln(x-1)\ ln(x+1)$ ,
το οποίο και πάλι ισχύει αφού το αριστερό μέλος είναι θετική ποσότητα, σε αντίθεση με το δεξί το οποίο είναι καθαρά μη θετική ποσότητα.

Τελικά h(x)>0

για κάθε

.

Το γ) αργότερα.

Ελπίζω να μη μου έχει ξεφύγει κάτι.

Tolaso J Kos · #4

Chagi έγραψε: Τετ Μαρ 27, 2019 4:09 pm Καλησπέρα !!

Για το Β:

α)
${g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}$
με .
Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της .

Αφού προφανώς ο αριθμητής της είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της θετική (αφού η γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$ .
Οπότε η γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$ .

Η

ορίζεται στο $(0, +\infty )$ , άρα το πρόσημο της

θέλει δουλίτσα ! Αυτό που έκανα χθες ήταν να θεωρήσω συνάρτηση τον αριθμητή που έχει πολύ καλή παράγωγο και να βγάλω το αποτέλεσμα !

Αν και θεωρώ πως κάπου η

μπλέκεται !

Chagi · #5

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μαρ 27, 2019 7:45 pm
Chagi έγραψε: Τετ Μαρ 27, 2019 4:09 pm Καλησπέρα !!

Για το Β:

α)
${g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}$
με .
Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της .

Αφού προφανώς ο αριθμητής της είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της θετική (αφού η γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$ .
Οπότε η γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$ .
Η ορίζεται στο $(0, +\infty )$ , άρα το πρόσημο της θέλει δουλίτσα ! Αυτό που έκανα χθες ήταν να θεωρήσω συνάρτηση τον αριθμητή που έχει πολύ καλή παράγωγο και να βγάλω το αποτέλεσμα !

Αν και θεωρώ πως κάπου η μπλέκεται !

Ευχαριστώ για την υπόδειξη, παράλειψή μου.
Πράγματι θεωρώντας συνάρτηση τον αριθμητή προκύπτει το ζητούμενο μέσα από τη μονοτονία και το σύνολο τιμών της!

Chagi · #6

Για να κλείνει:

Γ) Αρχικά παρατηρούμε ότι για x=2

η δοσμένη ισχύει ως ισότητα.

Τη μετασχηματίζουμε ως εξής:

$\displaystyle {x^x}{(4 - x)^{4 - x}} \ge 16 \Rightarrow x\ lnx + (4-x)\ ln(4-x) \geq 4\ ln2 \Rightarrow f(x) + f(4-x) \geq 2f(2)$

Αν $x\in (2,4)$ τότε εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ για την

στα διαστήματα [4-x,2], [2,x]

έχουμε πως υπάρχουν

$x_1\in(4-x,2)$ ώστε ${f}'(x_1)=\frac {f(2)- f(4-x)}{x-2}$

και $x_2\in(2,x)$ ώστε ${f}'(x_2)=\frac {f(x)- f(2)}{x-2}$

Είναι $x_1<x_2 \Rightarrow {f}'(x_1)<{f}'(x_2) \Rightarrow f(2)- f(4-x) < f(x) - f(2) \Rightarrow f(x) + f(4-x) > 2f(2)$ , αφού η {f}'

είναι γνησίως αύξουσα.

Όμοια εργαζόμαστε και για 0<x<2

(αντιστρέφονται απλώς τα άκρα των διαστημάτων στα οποία εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ.) και το ζητούμενο αποδεικνύεται.

Ώρα για επανάληψη

Ώρα για επανάληψη

Re: Ώρα για επανάληψη

Re: Ώρα για επανάληψη

Re: Ώρα για επανάληψη

Re: Ώρα για επανάληψη

Re: Ώρα για επανάληψη

Μέλη σε σύνδεση