Με απλά υλικά (42)

#1

Δίνεται η συνάρτηση

f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}

, με τύπο:

f(x)=\frac{x}{e^{x}-1}

Δ1. Να αποδείξετε ότι

{{e}^{x}}(x-2)+x+2>0

, για κάθε $\displaystyle x>0$ .
Δ2. Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται και ότι το πεδίο ορισμού της $\displaystyle {{f}^{-1}}$ είναι το διάστημα $\displaystyle (0,1)$ .
Δ3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\displaystyle f$ ως προς την κυρτότητα στο $\displaystyle (0,+\infty )$ .
Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle x>0$ ισχύει:

f(x)\ge \frac{e-x}{(e-1)^{2}}

Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

\frac{f(\alpha )}{x-1}+\frac{f^{-1}(\alpha )}{x-2}+\frac{\eta \mu (\pi \alpha )}{x}=0

,
με $0<\alpha <1$ , έχει ακριβώς δύο ρίζες ως προς

, μία στο $\displaystyle (0,1)$ και μία στο $\displaystyle (1,2)$ .
Δ5. Αν

είναι μια αρχική συνάρτηση της

στο διάστημα $(0,+\infty )$ με

F(2)=\frac{1}{e-1}

, να αποδείξετε ότι:

\frac{1}{2(e+1)}<F(1)<\frac{1}{2{{(e-1)}^{2}}}

Dimessi · #2

Δ5.

ομόσημη της

e^x(x-2)+x+2>0 \quad\forall x >0

οπότε

γνήσια κυρτή στο

\mathbb{R_{>0}}.

H εφαπτομένη της C_f

στο

είναι η

y=\dfrac{e-x}{(e-1)^2}.

F(2)-F(1)=\int \limits _{1}^{2} f(x)dx >\int \limits_{1}^{2}\dfrac{e-x}{(e-1)^2}dx=\dfrac{1}{e-1}-\dfrac{1}{2(e-1)^2}=F(2)-\dfrac{1}{2(e-1)^2} \Longrightarrow F(1)<\dfrac{1}{2(e-1)^2}.

Στο

είναι

f(x)\leqslant f(1)+\left (f(2)-f(1)\right)(x-1)

με ισότητα μόνο στα άκρα

\Longrightarrow F(2)-F(1)=\int \limits _{1}^{2} f(x)dx <\int \limits_{1}^{2} \left (f(1)+\left (f(2)-f(1)\right)(x-1) \right) dx=\dfrac{1}{2(e-1)}<\dfrac{1}{e-1}-\dfrac{1}{2(e+1)}=F(2)-\dfrac{1}{2(e+1)}

\Longrightarrow F(1)>\dfrac{1}{2(e+1)}.

Με απλά υλικά (42)

Με απλά υλικά (42)

Re: Με απλά υλικά (42)

Μέλη σε σύνδεση