Καλή η λογική τους, αλλά η μονοτονία μας τα χαλάει λίγο !

#1

Αυτή την άσκηση την είδα σήμερα(ως συνήθως )σε ξένο περιοδικό και τη στέλνω. Δεν είναι ..sos θέμα , αλλά ας μαζεύουμε όλες τις ιδέες. Σε μερικά χρόνια όλα μπορεί να είναι τελείως διαφορετικά και να έρθουν τα άνω κάτω στην ύλη.Πιθανόν τότε να είναι πιο χρήσιμη.
Τη δίνω στο συνημμένο.
Μπάμπης

k-ser · #2

Μπάμπη,
καλή περίπτωση. Όσον αφορά τη μονοτονία, έχω την εντύπωση ότι δεν αλλάζει κάτι αν δώσουμε < 0 αντί για $\leq0$ .

Σε όποιον χρειάζεται μια απάντηση... α) F(x)=0, β) F(x)=ημχ.

Θα γράψω αργότερα μιαν απάντηση - αν δεν υπάρξει ίδια μ' αυτή που έχω υπόψιν μου.

Καλό βράδυ.

Συμπλήρωμα: Λάθος εντύπωση έχω... Δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη και σταθερή!

#3

Πράγματι είναι πολύ ωραίο θέμα. Οσο για το SOS θα απέφευγα να το εντάξω όπως επίσης αποφεύγω για την πλειονότητα των θεμάτων. Ειδικά αυτή η άσκηση δεν ξέρουμε τι μπορεί να δώσει σε κατάλληλα χέρια.
Μιλάω για την βασική της ιδέα που νομίζω ότι αξίζει να την αναδείξουμε και κατά την γνώμη μου είναι η ακόλουθη:
Αν έχουμε δύο συνεχείς συναρτήσεις f, g

και

είναι διαδοχικές ρίζες της

τότε αν η

είναι μονότονη στο [x_1, x_2]

τότε η

είναι μηδενική.
Αν και κάπως καθυστερημένα χρόνια πολλά δε όσους και όσες γιορτάζουν.
Mαυρογιάννης

#4

nsmavrogiannis έγραψε:Πράγματι είναι πολύ ωραίο θέμα. Οσο για το SOS θα απέφευγα να το εντάξω όπως επίσης αποφεύγω για την πλειονότητα των θεμάτων. Ειδικά αυτή η άσκηση δεν ξέρουμε τι μπορεί να δώσει σε κατάλληλα χέρια.
Μιλάω για την βασική της ιδέα που νομίζω ότι αξίζει να την αναδείξουμε και κατά την γνώμη μου είναι η ακόλουθη:
Αν έχουμε δύο συνεχείς συναρτήσεις και είναι διαδοχικές ρίζες της τότε αν η είναι μονότονη στο τότε η είναι μηδενική.
Αν και κάπως καθυστερημένα χρόνια πολλά δε όσους και όσες γιορτάζουν.
Mαυρογιάννης

Νομιζω οτι δυο ριζες και μαλιστα διαδοχικες δεν αρκουν,
αλλα αντιθετως ,δυο ριζες και οχι διαδοχικες ειναι αρκετες να φτιαξουν διαστημα
εδω βεβαια εχουμε πιο πολλες .

#5

Κώστα έχει δίκιο η διατύπωση μου ήταν ελλειπτική:
Αντί
αν η

είναι μονότονη στο [x_1, x_2]

τότε η

είναι μηδενική.
Διάβαζε
αν η

είναι μονότονη στο [x_1, x_2]

τότε η

είναι μηδενική στο [x_1, x_2]

.
Από κει και πέρα όπως σωστά επισημαίνεις υπόλοιπες ρίζες που σχηματίζουν διαστήματα που καλύπτουν την πραγματική ευθεία κάνουν την υπόλοιπη δουλειά.
Μαυρογιάννης

k-ser · #6

Μπάμπη,
δίνω μιαν απάντηση στο Β σκέλος του θέματος...

Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού το IR και F μια αρχική της f.Να βρείτε τη συνάρτηση f , στις παρακάτω περιπτώσεις :
α.) F(x)ημx $\leq$ f(x)συνx, $\forall x \in \matbb{R}$
β.) F(x)ημx + συν2x $\leq$ f(x)συνx, $\forall x \in \matbb{R}$

Απάντηση

α) Είναι: F(x)ημx $\leq$ f(x)συνx $\Leftrightarrow$ F΄(x)συνx-F(x)ημx $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ (F(x)συνx)΄ $\geq$ 0 $\forall x \in \matbb{R}$ .
Άρα η συνάρτηση g(x) = F(x)συνx είναι αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .
Για κάθε πραγματικό αριθμό x υπάρχουν διαδοχικοί ακέραιοι k, m τέτοιοι ώστε:
kπ-π/2 $\leq$ x $\leq$ mπ+π/2 και εφόσον η g είναι αύξουσα:
g(kπ-π/2) $\leq$ g(x) $\leq$ g(mπ+π/2) ή
0 $\leq$ g(x) $\leq$ 0 και έτσι
g(x)=0 $\forall x \in \matbb{R}$ ή F(x)συνx =0 $\forall x \in \matbb{R}$ ή F(x)=0 $\forall x \in \matbb{R}$ -{ $k\pi +\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$ }.
Εφόσον η F είναι συνεχής θα είναι F(x)=0 , $\forall x \in \matbb{R}$ .
Άρα f(x)=0, $\forall x \in \matbb{R}$ .

β) Είναι F(x)ημx + συν2x $\leq$ f(x)συνx, $\forall x \in \matbb{R}$ .
Εύκολα προκύπτει [(F(x)-ημx)συνx]΄ $\geq$ 0, $\forall x \in \matbb{R}$ .
Ομοίως, με την διαδικασία του α) ερωτήματος, παίρνουμε: F(x)-ημx = 0 $\forall x \in \matbb{R}$ ή F(x)=ημx , $\forall x \in \matbb{R}$ .
Άρα f(x)=συνx, $\forall x \in \matbb{R}$ .

Καλή η λογική τους, αλλά η μονοτονία μας τα χαλάει λίγο !

Καλή η λογική τους, αλλά η μονοτονία μας τα χαλάει λίγο !

Re: Καλή η λογική τους, αλλά η μονοτονία μας τα χαλάει λίγο !

Re: Καλή η λογική τους, αλλά η μονοτονία μας τα χαλάει λίγο !

Re: Καλή η λογική τους, αλλά η μονοτονία μας τα χαλάει λίγο !

Re: Καλή η λογική τους, αλλά η μονοτονία μας τα χαλάει λίγο !

Re: Καλή η λογική τους, αλλά η μονοτονία μας τα χαλάει λίγο !

Μέλη σε σύνδεση