Άλλο ένα όριο

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{-3}}\left( \frac{1}{\sin x}-\frac{x}{6}-\frac{1}{x} \right)}$

Βγαίνει με DHL αλλά είναι πολύ φασαρία. Αλλιώς, δίνω υπόδειξη αλλά και πάλι οι πράξεις είναι πολλές:

Δούλεψε με πλευρικά όρια και χρησιμοποίησε την ανισότητα $\displaystyle{x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} - \frac {x^7}{7!} \le \sin x \le x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} }$ . Την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ.

Αν έκανα σωστά τις πράξεις, θα βρεις -1/24

.

Μ.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

nikoszan · #5

Είναι 1) ${x^{ - 3}}\left( {\frac{1}{{\sin x}} - \frac{x}{6} - \frac{1}{x}} \right) = \frac{{6x - {x^2}\sin x - 6\sin x}}{{6{x^4}\sin x}} = \frac{{6x - {x^2}\sin x - 6\sin x}}{{{x^5}}}\frac{1}{{6\frac{{\sin x}}{x}}}$
2) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6x - {x^2}\sin x - 6\sin x}}{{{x^5}}}\left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6 - 2x\sin x - {x^2}\cos x - 6\cos x}}{{5{x^4}}}\left( {\frac{0}{0}} \right)$ \displaystyle{= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 4x\cos x + {x^2}\sin x + 4\sin x}}{{20{x^3}}}\left( {\frac{0}{0}} \right) =} $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6x\sin x + {x^2}\cos x}}{{60{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6\sin x + x\cos x}}{{60x}}$ $\begin{array}{l} = \frac{1}{{60}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {6\frac{{\sin x}}{x} + \cos x} \right) = \frac{1}{{60}}\left( {6.1 + 1} \right) = \frac{7}{{60}}\\ \end{array}$ ,
οπότε $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \left[ {{x^{ - 3}}\left( {\frac{1}{{\sin x}} - \frac{x}{6} - \frac{1}{x}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \left[ {\frac{{6x - {x^2}\sin x - 6\sin x}}{{{x^5}}}\frac{1}{{6\frac{{\sin x}}{x}}}} \right] = \frac{7}{{60}}\left( {\frac{1}{{6.1}}} \right) = \frac{7}{{360}}$

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

#7

Ας γράψω και μία λύση με την ανισότητα $\displaystyle{x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} - \frac {x^7}{7!} \le \sin x \le x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} }$ , για να μαθαίνουν οι μαθητές μας μια ακόμα τεχνική.

Όπως στη λύση του Νίκου, θα χρησιμοποιήσω το

$\displaystyle {x^{ - 3}}\left( {\frac{1}{{\sin x}} - \frac{x}{6} - \frac{1}{x}} \right) = \frac{{6x - {x^2}\sin x - 6\sin x}}{{6{x^4}\sin x}} = \frac{{6x - ({x^2}+6)\sin x }}{{{x^5}}}\cdot \frac{1}{{6\frac{{\sin x}}{x}}}$ οπότε αναγόμαστε στην εύρεση του ορίου της $\displaystyle{\frac{{6x - ({x^2}+6)\sin x}}{{{x^5}}}}$ .

Από την διπλή ανισότητα έχουμε

$\displaystyle{ \frac{{6x - ({x^2}+6)\left(x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} \right)}}{{{x^5}}} \le \frac{{6x - ({x^2}+6)\sin x}}{{{x^5}}} \le \frac{{6x - ({x^2}+6)\left(x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} - \frac {x^7}{7!} \right)}}{{{x^5}}} }$

που απλοποιείται στην

$\displaystyle{ \frac {6}{70} - \frac {1}{120} x^2 \le \frac{{6x - ({x^2}+6)\sin x}}{{{x^5}}} \le \frac {6}{70} - \frac {1}{120} x^2 + \frac {1}{7!} x^4 }$

(το μυστικό είναι ότι στον αριθμητή του παραπάνω κλάσματος έφυγαν όλοι οι όροι x, x^2, x^3, x^4

για να μείνουν ισόβαθμοι και πάνω του παρονομαστή).

Παίρνοντας τώρα όριο $x\to 0$ , το ζητούμενο τείνει στο $\displaystyle{ \frac {6}{70}}$ . Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

dennys · #8

Oρέστη, Χρόνια Πολλά.

Για να χρησιμοποιήσεις αυτό που θέλεις πρέπει να κάνεις κάποια βήματα, όπως

$\displaystyle \cfrac{f(x)}{g(x)}=K+\left (\cfrac{f(x)}{g(x)}-K\right )=K+h(x)\Rightarrow f(x)=g(x)(K+h(x))$

όπου $\displaystyle \lim_{x\to x_o}\cfrac{f(x)}{g(x)}=K, h(x)$ μηδενική.

Διονύσης

Edit από Γενικούς Συντονιστές.

Άλλο ένα όριο

Άλλο ένα όριο

Re: Άλλο ένα όριο

Re: Άλλο ένα όριο

Re: Άλλο ένα όριο

Re: Άλλο ένα όριο

Re: Άλλο ένα όριο

Re: Άλλο ένα όριο

Re: Άλλο ένα όριο

Μέλη σε σύνδεση