Υπολογιστική

erxmer · #1

Δίνεται η παραγωγισιμή συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε $(f(x)+x)(f'(x)+1)=x\,\,\,\,, x \in R$ με f(0)=1

.

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( \eta \mu f(x) \right )}$

3) Nα αποδειχθεί οτι η

αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης

4) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{2\sqrt{2}}^{0}\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}$

5) To εμβαδό του χωρίου που περικλέιεται μεταξυ των $C_\,\,{f^{-1}}$ , xx', y=x, x=1, x=4

Ratio · #2

(1) Θέτουμε g(x)=f(x)+x

και προκύπτει
$g'(x)g(x)=2x \Leftrightarrow 2g(x)g'(x)=2x \Leftrightarrow \\ \\(g^2(x))'=(x^2)' \Leftrightarrow g(x)^{2}=x^{2}+c \Leftrightarrow \left | g(x) \right |=\sqrt{x^2+c}$

οπότε $g(x)= \sqrt{x^2+c}$ ή $g(x) =-\sqrt{x^2+c}$ όπου

$f(x)+x=\sqrt{x^2+1}$ ή $f(x)+x=-\sqrt{x^2+1}$

$f(0)=1\Leftrightarrow f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$

(2)Για το όριο $\lim_{x\to +\infty} sin(f(x))=\lim_{x\to +\infty} sin(\sqrt{x^2+1}-x)=\lim_{x\to +\infty} sin\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}= \lim_{x\to +\infty} sin\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0$

καθώς $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)=+\infty-\infty$

(3) $x_1\neq x_2\Leftrightarrow \left \{ -x_1\neq -x_2 \wedge x_1^2\neq x_2^2\right \}\Leftrightarrow \left \{ -x_1\neq-x_2 } \wedge \sqrt{x_1^2+1}\neq \sqrt {x_2^2+1} \right \}\Leftrightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$ άρα η [tex}f(x)[/tex] αντιστρέφεται

Για την αντίστροφη , θέτουμε y=f(x)

$y=\sqrt{x^2+1}-x \Leftrightarrow y+x=\sqrt{x^2+1}$ όπου $(y+x\geq 0)$ }\\
${y+x}^2=x^2+1\Leftrightarrow y^2+2yx+x^2=x^2+1\Leftrightarrow x=\frac{1-y^2}{2y}$

άρα $f^{-1}(x)=\frac{1-x^2}{2x}$ με $x\neq0$
όπου $x\neq 0$
(4) Θέτουμε x=tanu

με $u \in (\frac{-\pi}{4},\frac{\pi}{4})$
Θα το συνέχιζα αν γίνει η διευκρίνηση για το κάτω όριο του ολοκληρώματος καθώς το $2\sqrt{2}$ είναι τιμή εφαπτομένης των $\frac{7\pi}{18}$
περίπου .. Mήπως θέλατε να γράψετε $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

Tolaso J Kos · #3

erxmer έγραψε:Δίνεται η παραγωγισιμή συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε $(f(x)+x)(f'(x)+1)=x\,\,\,\,, x \in R$ με .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( \eta \mu f(x) \right )}$

3) Nα αποδειχθεί οτι η αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης

4) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{2\sqrt{2}}^{0}\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}$

5) To εμβαδό του χωρίου που περικλέιεται μεταξυ των $C_\,\,{f^{-1}}$ ,

α) Η διαφορική γίνεται διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( f(x)+x \right )\left ( f'(x)+1 \right) = x &\Leftrightarrow 2 \left ( f(x) + x \right )\left ( f'(x)+1 \right ) = 2x \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{g(x)=f(x)+x}{\Leftarrow \!=\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow } 2 g(x) g'(x) = 2x \\ &\Leftrightarrow \left ( g^2(x) \right ) ' = \left ( x^2 \right )' \\ &\Rightarrow g^2(x) = x^2+c \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overset{g(0)=1 \Rightarrow c=1}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!\Rightarrow } g^2 (x)=x^2+1 \\ &= \left ( f(x)+x \right )^2 = x^2 +1 \end{aligned}}$ Όμως η συνάρτηση g(x)=f(x)+x

δε μπορεί να 'χει ρίζα. Πράγματι , αν υποθέσουμε πως έχει ρίζα τότε θα υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε g(x_0)=0

ή

. Οπότε με αντικατάσταση στη πάνω σχέση θα χουμε 0= x_0^2 +1 >0

άτοπο. Ως συνεχής και διάφορη του διάφορη του μηδενός διατηρεί πρόσημο και επειδή g(0)=1>0

συνάγουμε ότι g(x)>0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Άρα:
$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( f(x)+x \right )^2 = x^2+1 &\overset{f(x)+x >0}{=\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow } f(x)+x = \sqrt{x^2+1} \\ &\Rightarrow f(x) = \sqrt{x^2+1} - x \\ &\Rightarrow f(x)= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} , \; x \in \mathbb{R} \end{aligned}}$ συνάρτηση που επαληθεύει.

β) Το όριο γίνεται :
$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow +\infty} \sin f(x) &= \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin \left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x} \right ) \\ &\overset{\begin{subarray}{c} {u=f(x) }\\ {u \rightarrow 0} \\ \end{subarray}}{=\! =\! =\! =\! =\!} \lim_{u \rightarrow 0} \sin u\\ &= 0 \end{aligned}}$ γ) Η

αντιστρέφεται αφού εύκολα με παραγώγους διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle{f'(x) = - \frac{1}{x^2+x\sqrt{x^2+1} +1}}$ η οποία είναι αρνητική άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα. Εύκολα μπορούμε να προσδιορίσουμε το σύνολο τιμών αυτής. Έχουμε ότι $\lim \limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) =0$ και $\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$ . Άρα το σύνολο τιμών , επειδή η

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα , είναι το $\mathcal{R}= f \left ( \mathbb{R} \right ) = \left (0, +\infty \right )$ . Στο διάστημα αυτό η

αντιστρέφεται και έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} y=f(x) &\Leftrightarrow y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} +x} \\ &\Leftrightarrow y + x = \sqrt{1+x^2}\\ &\Leftrightarrow \left ( y+x \right )^2 = 1+x^2\\ &\Leftrightarrow y^2 +2yx + x^2 =1+x^2 \\ &\Leftrightarrow y^2 + 2yx = 1 \\ &\Leftrightarrow x = \frac{1-y^2}{2y} \end{aligned}}$ Άρα η αντίστροφη έχει τύπο $\displaystyle{f^{-1}(x) = \frac{1-x^2}{2x} , \; x >0}$ .

δ) Επικαλούμαστε την άσκηση του σχολικού βιβλίου για τη παράγουσα της συνάρτησης. Οπότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &= \int_{2\sqrt{2}}^{0} \frac{{\rm d}x}{\sqrt{x^2+1}} \\ &=\left [ \ln \left ( \sqrt{x^2+1} + x \right ) \right ]_{2\sqrt{2}}^{0} \\ &= - \ln \left ( \sqrt{8+1} + 2\sqrt{2} \right ) \\ &= -\ln \left ( 3+2\sqrt{2} \right ) \end{aligned}}$ Εύκολα κάποιος ελέγχει ότι $\displaystyle{\left [ \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) \right ]' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$ .

ε) Χμμ.. φαίνεται πως το χωρίο είναι μη φραγμένο. Μήπως έχει γίνει λάθος ;

Tolaso J Kos · #4

Ratio έγραψε: (3) $x_1\neq x_2\Leftrightarrow \left \{ -x_1\neq -x_2 \wedge x_1^2\neq x_2^2\right \}\Leftrightarrow \left \{ -x_1\neq-x_2 } \wedge \sqrt{x_1^2+1}\neq \sqrt {x_2^2+1} \right \}\Leftrightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$ άρα η αντιστρέφεται

Γεια σου Ratio,

το ότι $x_1 \neq x_2$ δε σημαίνει απαραίτητα ότι $\sqrt{x_1^2+1}\neq \sqrt {x_2^2+1}$ . Για παράδειγμα $-1 \neq 1$ αλλά $\sqrt{(-1)^2+1}= \sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$ . Οπότε το κομμάτι αυτό πρέπει να το ξανά δεις.

#5

Χμμμμ.

Ratio έγραψε: $\left | g(x) \right |=\sqrt{x^2+c}$

οπότε $g(x)= \sqrt{x^2+c}$ ή $g(x) =-\sqrt{x^2+c}$

Προσοχή, το βήμα αυτό θέλει σοβαρή αιτιολόγιση. Τυχαίνει να είναι σωστό αλλά για καθόλου
προφανή λόγο.

Για παράδειγμα αν για μία

είχαμε $\left | h(x) \right |=x^2}$ , προκύπτει άραγε
h(x)= +x^2

για κάθε

ή

για κάθε

;

H απάντηση είναι όχι κατ' ανάγκη. Π.χ. και η

$h(x) = \left\{ \begin{gathered} +x^2 , \, x\ge 0 \hfill \\ -x^2, \, x< 0 \hfill \\ \end{gathered} \right$

όπως και η

$h(x) = \left\{ \begin{gathered} +x^2 , \, x\in \mathbb Q \hfill \\ -x^2, \, x \in \marhbb R -\mathbb Q \hfill \\ \end{gathered} \right$

και άπειρες άλλες ακόμη, κάνουν την δουλειά. Οπότε πρέπει κάτι ακόμα να πούμε στην λύση μας.

Ratio · #6

Tolaso J Kos έγραψε:
Ratio έγραψε: (3) $x_1\neq x_2\Leftrightarrow \left \{ -x_1\neq -x_2 \wedge x_1^2\neq x_2^2\right \}\Leftrightarrow \left \{ -x_1\neq-x_2 } \wedge \sqrt{x_1^2+1}\neq \sqrt {x_2^2+1} \right \}\Leftrightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$ άρα η αντιστρέφεται
Γεια σου Ratio,

το ότι $x_1 \neq x_2$ δε σημαίνει απαραίτητα ότι $\sqrt{x_1^2+1}\neq \sqrt {x_2^2+1}$ . Για παράδειγμα $-1 \neq 1$ αλλά $\sqrt{(-1)^2+1}= \sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$ . Οπότε το κομμάτι αυτό πρέπει να το ξανά δεις.

To ξέρω. 'Ολο έγινε γιατί δεν σκέφτηκα καθόλου όταν βρήκα τη συνάρτηση να κάνω συζυγή παράσταση για να εμφανίσω τη μορφή της τελικής λύσης που σαφέστατα είναι πιο εύχρηστη αλλά και στην f'(x)

που βρήκα. Οπότε άρχισα να σκέφτομαι εναλλακτικές και χρησιμοποίσα αυτό που είδατε , περιμένοντας να δω αν θα υπήρχε άλλη προσέγγιση.
Ευχαριστώ πολύ

Ratio · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε:Χμμμμ.
Ratio έγραψε: $\left | g(x) \right |=\sqrt{x^2+c}$

οπότε $g(x)= \sqrt{x^2+c}$ ή $g(x) =-\sqrt{x^2+c}$
Προσοχή, το βήμα αυτό θέλει σοβαρή αιτιολόγιση. Τυχαίνει να είναι σωστό αλλά για καθόλου
προφανή λόγο.

Για παράδειγμα αν για μία είχαμε $\left | h(x) \right |=x^2}$ , προκύπτει άραγε
για κάθε ή για κάθε ;

H απάντηση είναι όχι κατ' ανάγκη. Π.χ. και η

$h(x) = \left\{ \begin{gathered} +x^2 , \, x\ge 0 \hfill \\ -x^2, \, x< 0 \hfill \\ \end{gathered} \right$

όπως και η

$h(x) = \left\{ \begin{gathered} +x^2 , \, x\in \mathbb Q \hfill \\ -x^2, \, x \in \marhbb R -\mathbb Q \hfill \\ \end{gathered} \right$

και άπειρες άλλες ακόμη, κάνουν την δουλειά. Οπότε πρέπει κάτι ακόμα να πούμε στην λύση μας.

Θα έπρεπε έχετε δίκιο. Ως εξαγόμενο τετραγωνικής ρίζας η $g(x)\geq0$ κλπ ... αλλά έβλεπα το ολοκλήρωμα και προβληματιζόμουν με το κάτω όριο δεδομενης της αντικατάστασης που γίνεται με την x=tanu

, οπότε την αιτιολόγηση την προσπερασα . Ευχαριστώ πολύ για τη διόρθωση

Tolaso J Kos · #8

erxmer έγραψε: 5) To εμβαδό του χωρίου που περικλέιεται μεταξυ των $C_\,\,{f^{-1}}$ ,

Γεια σας,

και με τη νέα διατύπωση το πρόβλημα του μη φραγμένου χωρίου παραμένει αφού στο

δεν ορίζεται η $f^{-1}$ . Οπότε πρέπει να ξανά τροποποιηθεί.

Τ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Καλημέρα Τόλη.
Πάρε γενικευμένο θα το βρείς $\infty$

Tolaso J Kos · #10

erxmer έγραψε:
5) To εμβαδό του χωρίου που περικλέιεται μεταξυ των $C_\,\,{f^{-1}}$ ,

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με:
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{1}^{4} \left | f(x) - x \right | \, {\rm d}x\\ &= \int_{1}^{4} \left | \sqrt{x^2+1} -2x \right | \, {\rm d}x\\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{\sqrt{x^2+1} -2x \leq 0}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! } \int_{1}^{4} \left ( - \sqrt{x^2+1} + 2x \right ) \, {\rm d}x \\ &= \left [-\frac{1}{2} \left [ x \sqrt{x^2+1} + \ln \left ( x + \sqrt{1+x^2} \right ) \right] \right ]_1^4 + \left [ x^2 \right ]_1^4 \\ &= \cdots \end{aligned}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Καλημέρα Τόλη.
Πάρε γενικευμένο θα το βρείς $\infty$

Γεια σου Σταύρο,

όταν είμαστε στα σχολικά πλαίσια τα πράγματα είναι συγκεκριμένα. Όταν μιλάμε για εμβαδόν στο σχολείο εννοούμε φραγμένο χωρίο και όχι κάτι μη φραγμένο. Με τη νέα εκφώνηση αυτό διορθώθηκε οπότε έδωσα και μία ( ας το πούμε ) απάντηση .

Υπολογιστική

Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Μέλη σε σύνδεση