Πριν κλείσουν οι κάλπες...

#1

Α) Δίνεται συνάρτηση

συνεχής στο [a,b].

Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_a^b {g(x)dx = \int_a^b {g(a + b - x)dx} }$

B) Θεωρούμε συνάρτηση

για την οποία ισχύει $\displaystyle f(0) = \frac{1}{2}$ και $\displaystyle ({e^x} + 1)f'(x) = 2x - {e^x}f(x),$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

β) Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle \xi \in (0,2),$ ώστε $\displaystyle f''(\xi ) = 0.$

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_{ - 1}^1 {f(x)dx}$

Tolaso J Kos · #2

george visvikis έγραψε: Παρ Ιουν 01, 2018 6:45 pm Α) Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_a^b {g(x)dx = \int_a^b {g(a + b - x)dx} }$

B) Θεωρούμε συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle f(0) = \frac{1}{2}$ και $\displaystyle ({e^x} + 1)f'(x) = 2x - {e^x}f(x),$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

β) Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle \xi \in (0,2),$ ώστε $\displaystyle f''(\xi ) = 0.$

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_{ - 1}^1 {f(x)dx}$

Πριν κλείσουν οι κάλπες ...

(Α) Είναι $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} f(\alpha+\beta-x) \, \mathrm{d}x \overset{u=\alpha+\beta-x}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!}\int_{\alpha}^{\beta}f(x) \, \mathrm{d}x}$ ,

(Β)

(α) Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( e^x+1 \right ) f'(x) = 2x-e^x f(x) &\Rightarrow e^x f'(x) + f'(x) = 2x - e^x f(x) \\ &\Rightarrow e^x f'(x) + e^x f(x) + f'(x) = 2x \\ &\Rightarrow \left ( e^x f(x) + f(x) \right )' = \left ( x^2 \right )' \\ &\Rightarrow e^x f(x) + f(x) = x^2 + c \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overset{f(0)=\frac{1}{2}\Rightarrow c=1}{=\! =\! =\!=\!=\!=\!=\!\Rightarrow } f(x) \left ( e^x+1 \right ) =x^2+1 \\ &\Rightarrow f(x) = \frac{x^2+1}{e^x+1} \end{aligned}}$
(β) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $\displaystyle{f'(x) = \frac{2x-e^x\left ( x-1 \right )^2}{\left ( e^x+1 \right )^2}}$ . H

είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Παρατηρούμε ότι $f'(0)=-\frac{1}{4}<0$ , $f'(1)=\frac{2}{1+e^2}>0$ και $\displaystyle{f'(2) = \frac{4-e^2}{\left ( 1+e^2 \right )^2}<0}$ . Από Bolzano στο διάστημα [0, 1]

υπάρχει

τέτοιο ώστε f'(x_1)=0

. Από Bolzano στο [1, 2]

υπάρχει

τέτοιο ώστε f'(x_2)=0

. Από Rolle στο [x_1, x_2]

υπάρχει $\xi$ τέτοιο ώστε $f''(\xi)=0$ .

(γ) Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής u=-x

οπότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-1}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x &= \int_{-1}^{1} \frac{x^2+1}{e^x+1} \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\overset{u=-x}{=\! =\! =\! =\! } \int_{-1}^{1} \frac{x^2+1}{e^{-x}+1} \, \mathrm{d}x \\ &=\int_{-1}^{1} \frac{e^x \left ( x^2+1 \right )}{1+e^x} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} \left ( \int_{-1}^{1} \frac{e^x \left ( x^2+1 \right )}{1+e^x} \, \mathrm{d}x + \int_{-1}^{1} \frac{x^2+1}{e^x+1} \, \mathrm{d}x \right )\\ &=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{\left ( x^2+1 \right )\left ( e^x+1 \right )}{e^x+1} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \left ( x^2+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{1} \left ( x^2+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\ &= \left [ \frac{x^3}{3} + x \right ]_0^1 \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}}$

#3

Αφού ευχαριστήσω τον Τόλη για τη λύση, να εξηγήσω απλώς το Α) ερώτημα, για μη φανεί ότι είναι τελείως άσχετο με το θέμα.

Το σκεπτικό ήταν να χρησιμοποιηθεί στο (Βγ):

$\displaystyle \int_{ - 1}^1 {f(x)dx = \int_{ - 1}^1 {f( - 1 + 1 - x)dx = \int_{ - 1}^1 {f( - x)dx} } } ,$ κλπ...

Πάντως, ο Τόλης το αντιμετώπισε πολύ ωραία!

Πριν κλείσουν οι κάλπες...

Πριν κλείσουν οι κάλπες...

Re: Πριν κλείσουν οι κάλπες...

Re: Πριν κλείσουν οι κάλπες...

Μέλη σε σύνδεση