Με απλά υλικά (17)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (17)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Μαρ 04, 2019 9:50 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f:R\to R , παραγωγίσιμη στο \displaystyle R για την οποία ισχύουν : \displaystyle f(0)=0 και \displaystyle f(x)\ge x{{e}^{x}}-x για κάθε \displaystyle x\in R.
α) i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle {f}'(0)=0 ii) Να υπολογίσετε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{e}^{x}}-1}
β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται το \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx
Για τα επόμενα ερωτήματα δίνεται ότι : \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx=e-2
γ) Να αποδείξετε ότι \displaystyle f(x)=x{{e}^{x}}-x για κάθε \displaystyle x \in [0,1]
δ) Να αποδείξετε ότι η \displaystyle f:[0,1]\to R αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης .
ε) Να εξετάσετε αν η \displaystyle {{f}^{-1}} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle 0 .
στ) Δίνεται ότι η \displaystyle {{f}^{-1}} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle x=e-1 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στη γραφική παράσταση
της \displaystyle {{f}^{-1}} , στο σημείο με τετμημένη \displaystyle x=e-1 .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2236
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (17)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Μαρ 05, 2019 1:31 pm

a.1

\displaystyle{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\ge e^x-1}για \displaystyle{x>0} τότε \displaystyle{f'(0+)\ge e^0-1=0}

\displaystyle{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\le e^x-1}για \displaystyle{x<0} τότε \displaystyle{f'(0-)\le e^0-1=0}

και \displaystyle{f'(0+)=f'(0-)} άρα \displaystyle{f'(0)=0}
a.2

έχουμε \displaystyle{\lim_{x\to 0-}\frac{f(x)}{e^x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\frac{x}{e^x-1}=0.1=0}
b Θετω \displaystyle{F(x)=\left\{\begin{matrix} 
f(x)/x,x\in (0,1]\\ 
0,x=0  
\end{matrix}\right.}

Eύκολα \displaystyle{F} συνεχής στο \displaystyle{(0,1]} αλλά και στο 0 οπότε το ολοκλήρωμα είναι καλώς ορισμένο

γ.

\displaystyle{\frac{f(x)}{x}\ge e^x-1} τοτε \displaystyle{\int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx\ge e-2} συνεπώς \displaystyle{f(x)=xe^x-x } αφου ισχύει το =

δ.
\displaystyle{f(x)=x(e^x-1)} ευκολα f γν αυξουσα αρα 1-1 με \displaystyle{f(0)=0,f(1)=e-1 } το πεδίο ορισμού της \displaystyle{f^{-1}} είναι το \displaystyle{[0,e-1]} kαι ο τυπος θα προκύψει αν λύσουμε ως προς x την \displaystyle{y=x(e^x-1),y(0)=0 } που δεν είναι δυνατον


ε.
\displaystyle{\lim_{x\to 0+}\frac{\frac{ x}{e^x-1}-0}{x-0}=+\infty} αρα δεν είναι παραγωγίσιμη

st.
\displaystyle{f(1)=e-1} άρα\displaystyle{f^{-1}(e-1)=1} , \displaystyle{f'(e-1)f^{-1}'((e-1))=1}

αρα\displaystyle{ y-1=(e^e-1)(x-1)}
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Τετ Μαρ 06, 2019 8:03 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Με απλά υλικά (17)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Μαρ 05, 2019 11:33 pm

Έχω μια ερώτηση, τα άκρα ολοκλήρωσης του \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx ανήκουν στο πεδίο ορισμού της \displaystyle\frac{f(x)}{x} ;
DeepinScreenshot_select-area_20190305233104.png
DeepinScreenshot_select-area_20190305233104.png (41.5 KiB) Προβλήθηκε 1067 φορές


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 709
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με απλά υλικά (17)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Μαρ 07, 2019 2:16 pm

Christos.N έγραψε:
Τρί Μαρ 05, 2019 11:33 pm
Έχω μια ερώτηση, τα άκρα ολοκλήρωσης του \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx ανήκουν στο πεδίο ορισμού της \displaystyle\frac{f(x)}{x} ;

DeepinScreenshot_select-area_20190305233104.png
Έχει και το (ε) ένα θέμα. Για να υπολογιστεί το \displaystyle \lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(0)}{y-0}

χρειάζεται η συνέχεια της f^{-1} στο 0 ώστε να μπορέσει να λειτουργήσει η αλλαγή μεταβλητής

x=f^{-1}(y) δηλαδή f^{-1}(y)\rightarrow f^{-1}(0)=0\Rightarrow x\rightarrow 0.

H συνθήκη f^{-1}(y)\neq 0 κοντά στο 0 είναι προφανής.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2236
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (17)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Μαρ 07, 2019 3:01 pm

καλώς ορισμένο είναι το \displaystyle{\int_{0}^{1}{Fdx}} αλλά \displaystyle{\int_{0}^{1}{F(x)dx}=\int_{0}^{1}{f(x)/xdx}} εφ οσον διαφέρουν το πολύ σε μια τιμή(F η συνεχής επέκταση της f/x)


Ηλίας Θ.
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 9:23 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με απλά υλικά (17)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ηλίας Θ. » Πέμ Μαρ 07, 2019 3:18 pm

Christos.N έγραψε:
Τρί Μαρ 05, 2019 11:33 pm
Έχω μια ερώτηση, τα άκρα ολοκλήρωσης του \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx ανήκουν στο πεδίο ορισμού της \displaystyle\frac{f(x)}{x} ;

DeepinScreenshot_select-area_20190305233104.png
Θεωρώ τη συνάρτηση \phi (x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)}{x},\;x>0 \\ \; \; \; 0,\;x=0 \end{cases}  . Η οποία από τα προηγούμενα είναι συνεχής.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 709
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με απλά υλικά (17)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Μαρ 07, 2019 4:28 pm

Ηλίας Θ. έγραψε:
Πέμ Μαρ 07, 2019 3:18 pm
Christos.N έγραψε:
Τρί Μαρ 05, 2019 11:33 pm
Έχω μια ερώτηση, τα άκρα ολοκλήρωσης του \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx ανήκουν στο πεδίο ορισμού της \displaystyle\frac{f(x)}{x} ;

DeepinScreenshot_select-area_20190305233104.png
Θεωρώ τη συνάρτηση \phi (x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)}{x},\;x>0 \\ \; \; \; 0,\;x=0 \end{cases}  . Η οποία από τα προηγούμενα είναι συνεχής.
Σωστό αυτό αλλά θα πρέπει να εξηγηθεί σε σχολικά πλαίσια, μιας και η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές, γιατί ''γεμίζοντας την τρύπα'' στο μηδέν το ολοκλήρωμα παραμένει ίδιο.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Με απλά υλικά (17)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Μαρ 07, 2019 5:55 pm

Ηλίας Θ. έγραψε:
Πέμ Μαρ 07, 2019 3:18 pm

Θεωρώ τη συνάρτηση \phi (x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)}{x},\;x>0 \\ \; \; \; 0,\;x=0 \end{cases}  . Η οποία από τα προηγούμενα είναι συνεχής.
R BORIS έγραψε:
Τρί Μαρ 05, 2019 1:31 pm

b Θετω \displaystyle{F(x)=\left\{\begin{matrix} 
f(x)/x,x\in (0,1]\\ 
0,x=0  
\end{matrix}\right.}
Και στις δύο περιπτώσεις υπολογίζετε τα \displaystyle \int_{0}^{1} F(x)\,\,dx και \displaystyle \int_{0}^{1} \phi(x)\,\,dx και όχι το ζητούμενο που είναι το \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx το οποίο τελευταίο όλοι ξέρουμε ότι είναι γενικευμένο β' είδους και είναι ίσο με \displaystyle \lim_{y\rightarrow 0^+} \int_{y}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx .


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Με απλά υλικά (17)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Παρ Μαρ 08, 2019 11:23 pm

exdx έγραψε:
Δευ Μαρ 04, 2019 9:50 pm
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f:R\to R , παραγωγίσιμη στο \displaystyle R για την οποία ισχύουν : \displaystyle f(0)=0 και \displaystyle f(x)\ge x{{e}^{x}}-x για κάθε \displaystyle x\in R.
α) i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle {f}'(0)=0 ii) Να υπολογίσετε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{e}^{x}}-1}
β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται το \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx
Για τα επόμενα ερωτήματα δίνεται ότι : \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x}}\,\,dx=e-2
γ) Να αποδείξετε ότι \displaystyle f(x)=x{{e}^{x}}-x για κάθε \displaystyle x \in [0,1]
δ) Να αποδείξετε ότι η \displaystyle f:[0,1]\to R αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης .
ε) Να εξετάσετε αν η \displaystyle {{f}^{-1}} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle 0 .
στ) Δίνεται ότι η \displaystyle {{f}^{-1}} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle x=e-1 . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στη γραφική παράσταση
της \displaystyle {{f}^{-1}} , στο σημείο με τετμημένη \displaystyle x=e-1 .
Καλησπέρα Γιώργη. Νομίζω ότι το πρώτο υποερώτημα βγαίνει και με θεώρημα Fermat.
Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-xe^x+x παραγωγίσιμη με g'(x)= f'(x)-e^x-xe^x+1.
Ισχύει g(x)\geq g(0)=0. Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat .
Επομένως έχουμε g'(0)=0 δηλαδή f'(0)=0.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης