Με απλά υλικά 22

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1526
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά 22

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιούλ 28, 2020 8:27 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f:R\to R με \displaystyle f(x)=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1}
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της \displaystyle {{C}_{f}} και να σχεδιάσετε τη \displaystyle {{C}_{f}} .
δ) Θεωρούμε τον περιορισμό \displaystyle g της \displaystyle f στο \displaystyle [0,+\infty ). Να δείξετε ότι η \displaystyle g αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη .
ε) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της \displaystyle {{g}^{-1}}.
ζ) Έστω το σημείο \displaystyle A(0,1) .
i) Να βρείτε ποιο σημείο της \displaystyle {{C}_{f}} βρίσκεται πλησιέστερα στο \displaystyle A.
ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle y=k, με \displaystyle -1<k<1, τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}} σε δυο σημεία \displaystyle B,C και κατόπιν να βρείτε το \displaystyle k ώστε το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle ABC να είναι το μέγιστο δυνατό .
η) Να αποδείξετε ότι \displaystyle \int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx<-1}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
greek_sorcerer
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Αύγ 02, 2010 4:18 pm

Re: Με απλά υλικά 22

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από greek_sorcerer » Τετ Ιούλ 29, 2020 3:49 pm

Για την γραφική παράσταση πέρα από τον κλασικό τρόπο αντιμετώπισης, υπάρχει και ο εξής:
f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-1-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-2}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}+\frac{-2}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}

η συνάρτηση g(x)=\frac{1}{x^2+1} είναι γνωστή από το μάθημα Πιθανοτήτων ως κατανομή Cauchy, η οποία δεν έχει δεν έχει μέση τιμή και τυπική απόκλιση, αλλά μοιάζει στο σχήμα με την Κανονική Κατανομή (με πιο ψηλές ουρές).
Εικόνα

Οπότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η συμμετρική της g ως προς τον άξονα x'x και μετατοπισμένη προς τα πάνω κατά μία μονάδα.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1526
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά 22

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Σεπ 10, 2020 9:10 pm

α) \displaystyle f(x)=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{4x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{^{2}}}} και \displaystyle {f}'(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0.
Άρα η \displaystyle f είναι γν. φθίνουσα στο \displaystyle (-\infty ,0] και γν αύξουσα στο \displaystyle [0,+\infty ) .
Επομένως έχει ολικό ελάχιστο το \displaystyle f(0)=-1

β) \displaystyle {f}''(x)=\frac{4-12{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}} και \displaystyle {{f}'}'(x)\ge 0\Leftrightarrow \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}\le x\le \frac{1}{\sqrt{3}}. Άρα είναι κυρτή στο \displaystyle \left[ -\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}} \right] και κοίλη αλλού .

γ) \displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1} \right)=1 άρα η \displaystyle y=1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη . Κατακόρυφες δεν έχει αφού είναι συνεχής .
tri.png
tri.png (24.46 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
δ) Για \displaystyle x\ge 0 είναι γνησίως αύξουσα , άρα \displaystyle 1-1, άρα αντιστρέφεται .
\displaystyle \begin{array}{l} 
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}}\\ 
{x \ge 0} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{y = 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}}}\\ 
{x \ge 0} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\frac{2}{{{x^2} + 1}} = 1 - y}\\ 
{x \ge 0} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\frac{2}{{1 - y}} = {x^2} + 1}\\ 
{x \ge 0,y \ne 1} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{x^2} = \frac{2}{{1 - y}} - 1}\\ 
{x \ge 0,y \ne 1} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \\ 
\\ 
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{x^2} = \frac{{1 + y}}{{1 - y}}}\\ 
{x \ge 0,y \ne 1} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} }\\ 
{ - 1 \le y < 1} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{f^{ - 1}}(y) = \sqrt {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} }\\ 
{ - 1 \le y < 1} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{f^{ - 1}}(x) = \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} }\\ 
{ - 1 \le x < 1} 
\end{array}} \right. 
\end{array}

ε)
apl.png
apl.png (18.5 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
ζ) i) Το τυχαίο σημείο \displaystyle M(x,f(x)) απέχει από το \displaystyle A , απόσταση
\displaystyle d(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(1-f(x))}^{2}}}\Rightarrow d(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(1-\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1})}^{2}}}\Rightarrow d(x)=\sqrt{\frac{{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+4}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}}
Αρκεί να βρούμε το ελάχιστο της \displaystyle t(x)=\frac{{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+4}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}
Είναι \displaystyle {t}'(x)=\frac{x({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-7)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}=\frac{x(x+1)(x-1)({{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+7)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}
Άρα η \displaystyle d έχει ελάχιστο για \displaystyle x=-1και για \displaystyle x=1 ίσο με \displaystyle \sqrt{2}

ii) Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι η ευθεία \displaystyle y=k,-1<k<1, τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}} σε δυο ακριβώς σημεία \displaystyle B,C.
Επειδή η \displaystyle f είναι άρτια , αρκεί να βρούμε το μέγιστο του\displaystyle ATC όπου το \displaystyle T είναι στον \displaystyle {y}'y.
Είναι \displaystyle (ATC)=\frac{TA\cdot TC}{2}=\frac{(1-k)\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}}{2}
Έστω \displaystyle h(k)=\frac{(1-k)\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+k)(1-k)}=\frac{1}{2}\sqrt{1-{{k}^{2}}}
με \displaystyle {h}'(k)=-\frac{1}{2}\frac{k}{\sqrt{1-{{k}^{2}}}}, οπότε \displaystyle {h}'(k)\ge 0\Leftrightarrow k\le 0
Άρα η \displaystyle h έχει μέγιστο για \displaystyle k=0 ίσο με \displaystyle \frac{1}{2} .Τότε το μέγιστο εμβαδόν του \displaystyle ATC είναι \displaystyle 1.

η) Εύκολα δείχνουμε ότι στο \displaystyle [0,1] ισχύει : \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1}\le x-1
Τότε : \displaystyle \int_{0}^{1}{\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}dx<\int_{0}^{1}{(x-1})dx=\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-x \right]_{0}^{1}=-\frac{1}{2}
Οπότε λόγω συμμετρίας \displaystyle \int_{-1}^{1}{f(x)}dx<-1


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης