Θέμα

#1

Δίνεται η

f(x)=\left\{ \begin{matrix} (1-x)\ln \left( \frac{x}{1-x} \right),\alpha \nu \,\,\,0<x<1 \\ 0\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \nu \,\,x=1 \\ \end{matrix} \right.

.
α) Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο $\displaystyle (0,1]$ και να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle f(x)=0$
β) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ είναι κοίλη και ότι έχει ολικό μέγιστο για $\displaystyle x=k$ με

k\in \left( \frac{1}{2},1 \right)

.
γ) Να αποδείξετε ότι

|k-1|\,\,<|k-\frac{1}{2}|

δ) Να αποδείξετε ότι

f(k+h)<f(k-h),h>0

ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στη γραφική παράσταση της

και τον άξονα $\displaystyle {x}'x$ .

Dimessi · #2

Η συνάρτηση

f(k+x)-f(k-x)

δεν ορίζεται για κάθε x>0.

To σωστό ερώτημα δ) είναι

f(k+x)<f(k-x),

για κάθε

x\in (0,k-2/3].

Για τo δ) Στο

(2/3,1)

είναι

f'''\left ( x \right )=\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\left ( 1-x \right )^{2}}< 0,

άρα η

ως συνεχής στο

x_0=2/3

είναι γνήσια κοίλη στο

[2/3,1).

Eπίσης

f'(2/3)=3/2-\ln 2>0

και από Fermat για την

παραγωγίσιμη στο

είναι

f'(k)=0<f'(2/3)

με

γνήσια φθίνουσα στο (0,1),

επομένως

k>2/3.

Ορίζω

g(x)=f(k+x)-f(k-x), x \in (0,k-2/3],

τότε

k+x>k>2/3

και

k-x\geqslant 2/3,

άρα από την ανισότητα Jensen για την γνήσια κοίλη

στο

[2/3,1),

έχουμε

f'(k+x)+f'(k-x)< 2 f'(k)=0,

για κάθε

x\in (0,k-2/3)

και συνεπώς

(f(k+x)-f(k-x))'<0,

για κάθε

x\in (0,k-2/3)

και άρα η

ως συνεχής στο

x_0'=k-2/3

είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο

(0,k-2/3],

επομένως και από τη συνέχεια της

στο

είναι

g\left ( x \right )< \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}g\left ( x \right )=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\left ( f\left ( k+x \right )-f\left ( k-x \right ) \right )=0,

για κάθε

x\in (0,k-2/3].

Επομένως

f(k+x)<f(k-x),

για κάθε

x\in (0,k-2/3].

Για το ε)

\mathrm{Ker}f=\left\{ 1/2,1\right\}.

Η

ως συνεχής διατηρεί πρόσημο στο (1/2,1)

με

f(3/4)=\ln 3/4>0,

άρα

f(x)\geqslant 0,

για κάθε

x \in [1/2,1].

E\left ( \Omega \right )=\int \limits _{1/2}^{1} \left ( 1-x \right )\ln \left ( \frac{x}{1-x} \right )dx=\int \limits_{1/2}^{1}d\left ( x\left ( \ln x-1 \right )-\frac{x^2}{2}\ln x+\frac{x^{2}}{4} \right )-\int \limits _{1/2}^{1}\left ( 1-x \right )\ln \left ( 1-x \right )dx=\left [ x\left ( \ln x-1 \right )+\frac{x^{2}}{4}\left ( 1-2\ln x \right ) \right ]^{x=1}_{x=1/2}-\int \limits _{0}^{1/2}y\ln ydy =\left [ x\left ( \ln x-1 \right )+\frac{x^{2}}{4}\left ( 1-2\ln x \right ) \right ]^{x=1}_{x=1/2}-\left [ y\left ( \ln y-1 \right ) \right ]^{y=1/2}_{y\rightarrow 0^{+}}

όπου

\lim_{y \to 0^{+}}\left ( y\ln y \right )=\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left ( xe^{x} \right )=\displaystyle \lim_{t \to +\infty}\left ( -te^{-t} \right )=0.

Για το α)

\lim_{x \to 1^{-}}\left ( \left ( 1-x \right )\ln \left ( \frac{x}{1-x} \right ) \right )=\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\left ( \left ( 1-x \right ) \ln x-\left ( 1-x \right )\ln \left ( 1-x \right )\right )\overset{\displaystyle \lim_{y \to 0^{+}}\left ( y\ln y \right )=0}=0=f\left ( 1 \right ),

οπότε

συνεχής στο x_0=1.

Για το β)

f''<0

στο

και

συνεχής στο

άρα

γνήσια κοίλη στο (0,1].

f' συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο (0,1), επομένως

f'\left ( \left ( 0,1 \right ) \right )=\left ( \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}f'\left ( x \right ) ,\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f'\left ( x \right )\right )=\mathbb{R}\Longrightarrow \mathrm{Ker }f'=\left\{ k\right\}.

Επειδή

γνήσια φθίνουσα στο (0,1) η f'>0

στο

και

στο

με

συνεχή στα

x_0''=k ,x_0=1,

άρα

\max f(x)=f(k)

στο μοναδικό αυτό

Επίσης

f'(1/2)>0=f'(k)

με

γνήσια φθίνουσα στο (0,1),

επομένως

k>1/2.

Θέμα

Θέμα

Re: Θέμα

Μέλη σε σύνδεση