Απόλυτη διαφορική

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f:R \to R}$ με την ιδιότητα $\displaystyle{f'(x) = |f(x)|}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

#2

Αν $\displaystyle{f(x)> 0}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ , είναι $\displaystyle{f'(x)=f(x),}$ οπότε $\displaystyle{f(x)=ce^x, c> 0.}$

Αν $\displaystyle{f(x)< 0}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ , είναι $\displaystyle{f'(x)=-f(x),}$ οπότε $\displaystyle{f(x)=ce^{-x}, c< 0.}$

Ας υποθέσουμε τώρα ότι η συνάρτηση δε διατηρεί πρόσημο, οπότε θα έχει κάποια ρίζα $\displaystyle{a.}$

Είναι

$\displaystyle{f'(x)-f(x)=|f(x)|-f(x)\geq 0~~\forall x,}$ οπότε η συνάρτηση $\displaystyle{e^{-x}f(x)}$ είναι αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}.}$

Επομένως

αν $\displaystyle{x>a}$ είναι $\displaystyle{e^{-x}f(x)\geq e^{-a}f(a)=0\implies f(x)\geq 0~~\forall x\in (a,+\infty ).}$

αν $\displaystyle{x<a}$ είναι $\displaystyle{e^{-x}f(x)\leq e^{-a}f(a)=0\implies f(x)\leq 0~~\forall x\in (-\infty ,a ).}$

Άρα στα διαστήματα αυτά επανερχόμαστε στις αρχικές περιπτώσεις, οπότε υπάρχουν $\displaystyle{m,n,}$ ώστε

$\displaystyle{f(x)=me^x~~\forall x>a}$ και $\displaystyle{f(x)=ne^{-x}~~\forall x<a}$ .

Από τη συνέχεια της συνάρτησης στο $\displaystyle{a}$ προκύπτει $\displaystyle{m=n=0,}$ οπότε $\displaystyle{f(x)=0~~\forall x.}$

Απόλυτη διαφορική

Απόλυτη διαφορική

Re: Απόλυτη διαφορική

Μέλη σε σύνδεση