Γνησίως φθίνουσα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

και

σταθερά .

Θεωρούμε την
$f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$
με
$\displaystyle f(t)=(\frac{k}{k+x^{t}-1})^{\frac{1}{t}}$

Δείξτε ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Προήλθε από το
viewtopic.php?f=59&t=66450

stranger · #2

Η άσκηση είναι πολύ απλή.
'Εχουμε $\log f(\frac{1}{t})$ $= t \log( \frac{k}{k-1 - x^{\frac{1}{t}}})$ . Παραγωγίζοντας την $x^{\frac{1}{t}}$ έχουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα επειδή 0<x<1

.
Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι η $\log f(\frac{1}{t})$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2020 7:02 am
Η άσκηση είναι πολύ απλή.
'Εχουμε $\log f(\frac{1}{t})$ $= t \log( \frac{k}{k-1 - x^{\frac{1}{t}}})$ . Παραγωγίζοντας την $x^{\frac{1}{t}}$ έχουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα επειδή .
Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι η $\log f(\frac{1}{t})$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα.

Πράγματι αν ένα

γίνει

είναι απλή.
Μόνο που άλλη είναι η συνάρτηση που ζητείται .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 13, 2020 9:41 pm
Εστω και σταθερά .

Θεωρούμε την
$f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$
με
$\displaystyle f(t)=(\frac{k}{k+x^{t}-1})^{\frac{1}{t}}$

Δείξτε ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Προήλθε από το
viewtopic.php?f=59&t=66450

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 13, 2020 9:41 pm
Εστω και σταθερά .

Θεωρούμε την
$f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$
με
$\displaystyle f(t)=(\frac{k}{k+x^{t}-1})^{\frac{1}{t}}$

Δείξτε ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Προήλθε από το
viewtopic.php?f=59&t=66450

...μετά την παρατήρηση του Σταύρου και βλέποντας αυτό που δεν είδα...
αποσύρω την δημοσίευση για να την δουλέψω καλύτερα....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 2:04 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 13, 2020 9:41 pm
Εστω και σταθερά .

Θεωρούμε την
$f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$
με
$\displaystyle f(t)=(\frac{k}{k+x^{t}-1})^{\frac{1}{t}}$

Δείξτε ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Προήλθε από το
viewtopic.php?f=59&t=66450
...εγώ πάλι την βγάζω γνήσια αύξουσα!!!!

Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $g(t)=\frac{{{x}^{t}}-1,}{k},\,\,t>0$ είναι γνήσια φθίνουσα αφού ${g}'(t)=\frac{{{x}^{t}}\ln x}{k}<0,\,\,t>0$

στο $(0,\infty )$ και η $\displaystyle f(t)=(\frac{k}{k+x^{t}-1})^{\frac{1}{t}}$ γίνεται

$f(t)={{(\frac{1}{1+g(t)})}^{\frac{1}{t}}}\Rightarrow \ln (f(t))=\frac{1}{t}\ln \left( \frac{1}{1+g(t)} \right)=-\frac{\ln (1+g(t))}{t}$

και παραγωγίζοντας έχουμε $\frac{{f}'(t)}{f(t)}=-\frac{\frac{t{g}'(t)}{1+g(t)}-\ln (1+g(t))}{{{t}^{2}}}=\frac{\ln (1+g(t))-\frac{t{g}'(t)}{1+g(t)}}{{{t}^{2}}}$

άρα ${f}'(t)=f(t)\frac{\ln (1+g(t))-\frac{t{g}'(t)}{1+g(t)}}{{{t}^{2}}}>0,\,\,t>0$ άρα η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα…..

που κάνω την πατάτα

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλημέρα Βασίλη.

Η πατάτα είναι ότι υποθέτεις το $\ln (1+g(t))\geq 0$

ενω στην πραγματικότητα είναι $\ln (1+g(t))<0$

ksofsa · #6

Καλημέρα σε όλους!

Μια προσπάθεια:

Εστω $t_{1}<t_{2}$

Αρκεί ν.δ.ό.:

$f(t_{1})>f(t_{2})$

$\dfrac{k^{t_{2}}}{(k+x^{t_{1}}-1)^{t_{2}}}> \dfrac{k^{t_{1}}}{(k+x^{t_{2}}-1)^{t_{1}}}$

$(\dfrac{k+x^0-1}{k+x^{t_{1}}-1})^{\dfrac{1}{t_{1}}}> (\dfrac{k+x^{t_{1}}-1}{k+x^{t_{2}}-1})^{\dfrac{1}{t_{2}-t_{1}}}$

$\dfrac{ln(k+x^0-1)-ln(k+x^{t_{1}}-1)}{t_{1}}> \dfrac{ln(k+x^{t_{1}}-1)-ln(k+x^{t_{2}}-1)}{t_{2}-t_{1}}$

$\dfrac{ln(k+x^{t_{1}}-1)-ln(k+x^0-1)}{t_{1}}< \dfrac{ln(k+x^{t_{2}}-1)-ln(k+x^{t_{1}}-1)}{t_{2}-t_{1}}$

Θεωρώ τη συνάρτηση

g(y)=ln(k+x^y-1)

, με $y\geq 0$

και $g'(y)=\dfrac{x^ylnx}{k+x^y-1}$

Θα δείξω ότι η

γνησίως αύξουσα.

Εστω $y_{1}< y_{2}$

Αρκεί $\dfrac{x^{y_{1}}lnx}{k+x^{y_{1}}-1}< \dfrac{x^{y_{2}}lnx}{k+x^{y_{2}}-1}$

$\dfrac{x^{y_{1}}}{k+x^{y_{1}}-1}> \dfrac{x^{y_{2}}}{k+x^{y_{2}}-1}$

$(k-1)(x^{y_{1}}-x^{y_{2}})>0$

που ισχύει διότι $0<x<1, y_{1}<y_{2}$

Τελικά η

γνησίως αύξουσα.

Από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν $x_{1}\epsilon (0,t_{1}), x_{2}\epsilon (t_{1},t_{2})$

ώστε

$g'(x_{1})=\dfrac{g(t_{1})-g(0)}{t_{1}}$

$g'(x_{2})=\dfrac{g(t_{2})-g(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}$

Ισχύει $g'(x_{1})<g'(x_{2})$ ,

που είναι η προς απόδειξη ανισότητα.

Christos.N · #7

Να κάνω μια προσπάθεια , μπορεί να αποδειχθεί και πατάτα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

τελικά πατάτα έκανα , η

είναι γνησίως αύξουσα, το αφήνω για τον κόπο.

sot arm · #8

Ίσως λέω τα ίδια με τα προηγούμενα λίγο η πολύ, ας δούμε:

Αν $g(t)= x^{t}+k-1$ προκύπτει με απλές πράξεις ότι: $g''(t)g(t) > (g'(t))^{2}$ , είναι ισοδύναμο με το k >1

, συνεπώς η g(t)

είναι αυστηρά λογαριθμικώς κυρτή, άρα από το λήμμα των τριών χορδών (μόνο τις δύο χορδές θέλουμε) η συνάρτηση:

$\frac{ln(g(t))-ln(g(0))}{t}$ γνησίως αύξουσα, δηλαδή η -ln(f(t))

γνησίως αύξουσα και άρα η f(t)

γνησίως φθίνουσα.

stranger · #9

Μια απλή λύση είναι η εξής.
Έχουμε $\log f(\frac{1}{t}) = t \log \frac{k}{k-1+x^{\frac{1}{t}}}$ . Παραγωγίζοντας την συνάρτηση $\log \frac{k}{k-1+x^{\frac{1}{t}}}$ έχουμε $(\log \frac{k}{k-1+x^{\frac{1}{t}}}){'}$ $= \frac{k-1+ x^{\frac{1}{t}}}{k} k (-( \frac{1}{k-1 + x^{\frac{1}{t}}})^2 x^{\frac{1}{t}} \log x (-\frac{1}{t^2}) <0$ . Άρα επειδή $\log \frac{k}{k-1+x^{\frac{1}{t}}} > 0$ έχουμε ότι η συνάρτηση $\log f(\frac{1}{t})$ είναι γνησίως αύξουσα και το συμπέρασμα έπεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

stranger έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 17, 2020 9:55 pm
Μια απλή λύση είναι η εξής.
Έχουμε $\log f(\frac{1}{t}) = t \log \frac{k}{k-1+x^{\frac{1}{t}}}$ . Παραγωγίζοντας την συνάρτηση $\log \frac{k}{k-1+x^{\frac{1}{t}}}$ έχουμε $(\log \frac{k}{k-1+x^{\frac{1}{t}}}){'}$ $= \frac{k-1+ x^{\frac{1}{t}}}{k} k (-( \frac{1}{k-1 + x^{\frac{1}{t}}})^2 x^{\frac{1}{t}} \log x (-\frac{1}{t^2}) <0$ . Άρα επειδή $\log \frac{k}{k-1+x^{\frac{1}{t}}} < 0$ έχουμε ότι η συνάρτηση $\log f(\frac{1}{t})$ είναι γνησίως αύξουσα και το συμπέρασμα έπεται.

Το $\log \frac{k}{k-1+x^{\frac{1}{t}}} < 0$
δεν ισχύει .
Είναι
$k-1+x^{\frac{1}{t}}< k$

stranger · #11

Ναι έχεις δίκιο έχουμε $\log \frac{k}{k-1 +x^{\frac{1}{t}}} >0$ .
Αν το αλλάξουμε στην απόδειξή μου αυτό, τότε η απόδειξη είναι σωστή.

stranger · #12

Όχι τελικά έχεις δίκιο η απόδειξη είναι λάθος.
Ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #13

stranger έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 17, 2020 10:32 pm
Ναι έχεις δίκιο έχουμε $\log \frac{k}{k-1 +x^{\frac{1}{t}}} >0$ .
Αν το αλλάξουμε στην απόδειξή μου αυτό, τότε η απόδειξη είναι σωστή.

Δεν νομίζω.
Εχουμε μια θετική συνάρτηση φθίνουσα και μια θετική αύξουσα.
Πως το γινόμενο τους θα προκύψει αύξουσα;
Εκτός αν χάνω κάτι.

Γνησίως φθίνουσα

Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Μέλη σε σύνδεση