Απαιτητική εύρεση συνάρτησης

#1

Να βρεθεί παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση

για την οποία $f'(x)\left(e^{f(x)}-x\right)=1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και f(0)=0

.

Αλέξανδρος

panagiotis iliopoulos · #2

Θεωρούμε το

σαν εξαρτημένη μεταβλητή αντί του

. Η συνάρτηση $g(x)=e^{f(x)}-x$ δεν μηδενίζεται και ως συνεχής

διατηρεί πρόσημο, προφανέστατα θετικό διότι g(0)=1

. Έχουμε $e^{y}-x=\frac{1}{y'}\Rightarrow x=e^{y}-\frac{dx}{dy}\Rightarrow x(y)+x'(y)=e^y\Rightarrow (e^yx(y))'=[\frac{e^[(2y)]}{2}]'$

και μετά από πράξεις προκύπτει ότι $f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$ .

Christos.N · #3

Κάπως διαφορετικά

Δεδομένου ότι $g(x)=e^{f(x)}-x$ έχει όλα τα καλά που περιέγραψε ο Παναγιώτης

έχουμε $g'(x)=f'(x)e^{f(x)}-1\Rightarrow f'(x)=\dfrac{1+g'(x)}{x+g(x)}$

με αντικατάσταση στην αρχική

$\dfrac{1+g'(x)}{x+g(x)} g(x)=1\Rightarrow g(x)g'(x)=x \Rightarrow ... \Rightarrow g(x)=\sqrt{x^2+1}$

άρα

$\sqrt{x^2+1}=e^{f(x)}-x \Rightarrow e^{f(x)}=x+\sqrt{x^2+1}\Rightarrow f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$

Κάποια κρίσιμα

$x+g(x)=e^{f(x)}>0$

$f'(x)(e^{f(x)}-x)=1 \Rightarrow f'(x)\neq0 ~~\kappa\alpha\iota ~~e^{f(x)}-x\neq0$ και αφού δείξαμε ότι $e^{f(x)}-x>0$ άρα δηλαδή γνησίως αύξουσα.

#4

Πολύ ωραία! Ευχαριστώ τους φίλους που ασχολήθηκαν.

Την άσκηση την κατασκεύασα στη τάξη εξηγώντας στους μαθητές ότι καμιά φορά όταν σου προδίδουν (σε κάποιο ερώτημα της άσκησης) τη συνάρτηση που πρέπει να βγάλεις (εγώ τους την έδινα) και δε "πιάνουν" άλλες γνωστές μέθοδοι, τότε προσπαθείς να προσαρμόσεις τη λύση σου στη συνάρτηση.

Ίσως τότε η πρώτη σκέψη να ήταν να ορίσεις π.χ. τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-\ln{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}$ και να δείξεις για παράδειγμα ότι g'(x)=0

άρα ότι είναι σταθερή, αλλά κάτι τέτοιο δε θα είχε κανένα αποτέλεσμα λόγω της αρχικής δοσμένης σχέσης. Όμως αν ορίσουμε τη συνάρτηση (εδώ είναι όλο το "ζουμί" της άσκησης) $g(x)=\left(e^{f(x)}-x\right)^2$ και χρησιμοποιήσουμε την αρχική σχέση μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι

g'(x)= .... = 2x

άρα

κτλ και να βγάλουμε έτσι τον γνωστό (από τα ζητούμενα) τύπο της συνάρτησης

.

Αλέξανδρος

Απαιτητική εύρεση συνάρτησης

Απαιτητική εύρεση συνάρτησης

Re: Απαιτητική εύρεση συνάρτησης

Re: Απαιτητική εύρεση συνάρτησης

Re: Απαιτητική εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση