Ελαχιστοποίηση με παράμετρο

KARKAR · #1

Βρείτε την τιμή του $c\in \mathbb{R}$ , για την οποία ελαχιστοποιείται το : $\displaystyle \int_{0}^{4}|x^2-8x+c|dx$ .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 16, 2022 7:57 am Βρείτε την τιμή του $c\in \mathbb{R}$ , για την οποία ελαχιστοποιείται το : $\displaystyle \int_{0}^{4}|x^2-8x+c|dx$ .

Θέτω

το ολοκλήρωμα και έστω $\displaystyle f(x) = {x^2} - 8x + c$ και $\displaystyle F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - 4{x^2} + cx.$

$\displaystyle \bullet$ Αν $c\le 0,$ το τριώνυμο f(x)

έχει δύο ρίζες $\displaystyle {\rho _1},{\rho _2}$ με $\displaystyle {\rho _1} \le 0 < 4 < {\rho _2}$ και είναι:

$\displaystyle I = - \int_0^4 {f(x)dx = - F(4) = \frac{{128}}{3}} - 4c \ge \frac{{128}}{3}$

$\displaystyle \bullet$ Αν $c\ge 16,$ τότε $f(x)\ge 0$ και $\displaystyle I = \int_0^4 {f(x)dx = F(4) = - \frac{{128}}{3}} + 4c \ge - \frac{{128}}{3} + 64 = \frac{{64}}{3}$

$\displaystyle \bullet$ Αν 0<c<16,

το τριώνυμο f(x)

έχει δύο ρίζες $\displaystyle {\rho _1},{\rho _2}$ με $\displaystyle 0 < {\rho _1} < 4 < {\rho _2}$ και είναι:

$\displaystyle I = \int_0^{{\rho _1}} {f(x)dx - \int_{{\rho _1}}^4 {f(x)dx = 2F(4 - \sqrt {16 - x)} } } - F(4) = \frac{{4\sqrt {16 - c} }}{3}\left( {16 - c} \right) + 4c - \frac{{128}}{3}$

Η τελευταία παράσταση (συνάρτηση ως προς

) έχει παράγωγο $\displaystyle \frac{2}{{\sqrt {16 - c} }}\left( {2\sqrt {16 - c} + c - 8} \right),$ οπότε το

ελαχιστοποιείται για $\boxed{c=12}$ και παίρνει την τιμή $\boxed{ {I_{\min }} = 16}$ που είναι και η τελική απάντηση.

edit: Άρση απόκρυψης και λύση. Όταν έγινε η επεξεργασία, ο Γιώργος είχε ήδη αναρτήσει τη λύση του.

#3

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 16, 2022 10:12 am
KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 16, 2022 7:57 am Βρείτε την τιμή του $c\in \mathbb{R}$ , για την οποία ελαχιστοποιείται το : $\displaystyle \int_{0}^{4}|x^2-8x+c|dx$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Για η ελάχιστη τιμή είναι $\displaystyle {I_{\min }} = 16.$

Θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί.

Kαλημέρα σε όλους. Από το σημείο που σταματώ, χρησιμοποιώ λογισμικό και βρίσκω ότι και ο Γιώργος παραπάνω για x_1=2, c=12

. Θα χαρώ να δω λύση δίχως το λογισμικό (συνημμένο αρχείο ggb) που χρησιμοποίησα.

Το τριώνυμο $\displaystyle y = {x^2} - 8x + c$ έχει $\displaystyle \Delta = 64 - 4c$

Αν $\displaystyle c \ge 16$ , τότε $\displaystyle \Delta \le 0$ , οπότε $y \ge 0$ , άρα

$\int\limits_0^4 | {x^2} - 8x + c|dx = \int\limits_0^4 {\left( {{x^2} - 8x + c} \right)dx} = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - 4{x^2} + cx} \right]_0^4 = \frac{{12c - 128}}{3}$ .

Είναι $c \ge 16 \Leftrightarrow \frac{{12c - 128}}{3} \ge \frac{{64}}{3}$ , με το ελάχιστο για c = 16

.

Αν $\displaystyle c < 16$ , τότε το τριώνυμο έχει ρίζες ${x_1} = 4 - \sqrt {16 - c} < 4 < {x_2} = 4 + \sqrt {16 - c}$ , οπότε

$\int\limits_0^4 | {x^2} - 8x + c|dx = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {{x^2} - 8x + c} \right)dx} - \int\limits_{{x_1}}^4 {\left( {{x^2} - 8x + c} \right)dx} =$
$= \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - 4{x^2} + cx} \right]_0^{{x_1}} - \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - 4{x^2} + cx} \right]_{{x_1}}^4 = \frac{{2{x_1}^3}}{3} - 8{x_1}^2 + 2c{x_1} + \frac{{128 - 12c}}{3}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Ισχύει το εξής :

Αν $\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ μονότονη συνάρτηση

το $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)-c|dx$ έχει ελάχιστη τιμή όταν το

βρίσκεται στο διάστημα που ορίζουν τα $\displaystyle \lim_{x\rightarrow (\frac{a+b}{2})^{+}}f(x),\lim_{x\rightarrow (\frac{a+b}{2})^{-}}f(x)$

Ετσι αν είναι συνεχής $\displaystyle c=f(\frac{a+b}{2})$

Για συνεχή η λύση είναι σχολική.
Μπορεί να αποδειχθεί και γεωμετρικά.
Νομίζω ότι έχει ξανασυζητηθεί.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Απρ 16, 2022 8:02 pm Ισχύει το εξής :

Αν $\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ μονότονη συνάρτηση

το $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)-c|dx$ έχει ελάχιστη τιμή όταν το

βρίσκεται στο διάστημα που ορίζουν τα $\displaystyle \lim_{x\rightarrow (\frac{a+b}{2})^{+}}f(x),\lim_{x\rightarrow (\frac{a+b}{2})^{-}}f(x)$

Ετσι αν είναι συνεχής $\displaystyle c=f(\frac{a+b}{2})$

Για συνεχή η λύση είναι σχολική.
Μπορεί να αποδειχθεί και γεωμετρικά.
Νομίζω ότι έχει ξανασυζητηθεί.

Σταύρο, με πρόλαβες.

Ας το κάνω για

παραγωγίσιμη με f'(x) >0

στο

, οπότε γνήσια αύξουσα συνάρτηση (όπως είναι η δοθείσα άσκηση με f(x)=-x^2+8x

στο $[0,\,4]$ ).

Για f(a) < c < f(b)

, οπότε

για κάποιο μοναδικό

με

. Εξετάζουμε λοιπόν την συνάρτηση στο (a,b)

$M(d) = \int _a^b |f(x)-f(d)|dx = \int _a^d (-f(x)+f(d))dx+ \int _d^b (f(x)-f(d))dx=$

$=-\int _a^d f(x)dx+ \int _d^b f(x)dx +f(d)(2d-a-b)$

Για ακρότατο παραγωγίζουμε ως προς

που μηδενίζεται όταν $d= \frac {1}{2}(a+b)$ .

Τα υπόλοιπα είναι απλά. Έτσι το ελάχιστο είναι για $c=f\left ( \dfrac {a+b}{2} \right )$ και η τιμή του είναι $\int _{(a+b)/2}^b f(x)dx- \int _{a}^{(a+b)/2} f(x)dx$

Υπόψη ότι για $c\ge f(b)$ ή $c\le f(a)$ δεν έχουμε ελάχιστο. Π.χ. το πρώτο έπεται από την παρατήρηση ότι τότε

$\int _a^b |f(x)-c|dx =\int _a^b (c-f(x))dx = c(b-a) - \int _a^b f(x)dx$ που είναι $\ge \int _{(a+b)/2} ^bf(x)dx- \int _{a}^{(a+b)/2} f(x)dx$ (ισοδυναμεί με το αληθές $\frac {1}{2}c(b-a) \ge \int _{(a+b)/2} ^bf(x)dx$ ).

BAGGP93 · #6

Απόσυρση.

Ελαχιστοποίηση με παράμετρο

Ελαχιστοποίηση με παράμετρο

Re: Ελαχιστοποίηση με παράμετρο

Re: Ελαχιστοποίηση με παράμετρο

Re: Ελαχιστοποίηση με παράμετρο

Re: Ελαχιστοποίηση με παράμετρο

Re: Ελαχιστοποίηση με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση