Ύπαρξη ορίου στο άπειρο

Henri van Aubel · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left ( 0,\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και κοίλη στο πεδίο ορισμού της με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}.$ Αν $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left ( x \right )}{x}=0$ , να δείξετε ότι το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}-x^{2}f{''}\left ( x \right )$ υπάρχει και ότι ισούται με

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Σεπ 16, 2023 8:12 pm Δίνεται η συνάρτηση $f:\left ( 0,\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και κοίλη στο πεδίο ορισμού της με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}.$ Αν $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left ( x \right )}{x}=0$ , να δείξετε ότι το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}-x^{2}f{''}\left ( x \right )$ υπάρχει και ότι ισούται με

Καλησπέρα. Δεν βλέπω τον λόγο να ισχύει ένα τέτοιο αποτέλεσμα. Μιας και μας ενδιαφέρει η οριακή συμπεριφορά στο άπειρο παίρνουμε την $\sqrt{x},x\geq1$ και την επεκτείνουμε κατάλληλα στο (0,1)

ώστε να ισχύουν όλες οι προϋποθεσεις. Το αποτέλεσμα τώρα σαφώς και δεν ισχύει.

Henri van Aubel · #3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Σάβ Σεπ 16, 2023 8:49 pm
Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Σεπ 16, 2023 8:12 pm Δίνεται η συνάρτηση $f:\left ( 0,\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και κοίλη στο πεδίο ορισμού της με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}.$ Αν $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left ( x \right )}{x}=0$ , να δείξετε ότι το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}-x^{2}f{''}\left ( x \right )$ υπάρχει και ότι ισούται με
Καλησπέρα. Δεν βλέπω τον λόγο να ισχύει ένα τέτοιο αποτέλεσμα. Μιας και μας ενδιαφέρει η οριακή συμπεριφορά στο άπειρο παίρνουμε την $\sqrt{x},x\geq1$ και την επεκτείνουμε κατάλληλα στο ώστε να ισχύουν όλες οι προϋποθεσεις. Το αποτέλεσμα τώρα σαφώς και δεν ισχύει.

Ναι, ούτε εγώ βλέπω πως μπορεί να ισχύει...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Σεπ 16, 2023 8:12 pm Δίνεται η συνάρτηση $f:\left ( 0,\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και κοίλη στο πεδίο ορισμού της με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}.$ Αν $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left ( x \right )}{x}=0$ , να δείξετε ότι το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}-x^{2}f{''}\left ( x \right )$ υπάρχει και ότι ισούται με

Πολλά περίεργα.
Αφου το όριο βγαίνει μηδέν τότε το μείον τι ρόλο παίζει ;

Η πιο απλή συνάρτηση που πληρεί τις υποθέσεις είναι η $\ln x$
Για αυτήν το όριο είναι 1.
Αν πάρουμε $f'(x)=\int_{x}^{\infty }(\frac{\sin t}{t})^2dt$
και $f(x)=\int_{1}^{x}f'(t)dt$
(αν δεν κάνω λάθος)
πληρεί τις υποθέσεις και το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}x^{2}f{''}\left ( x \right )$ δεν υπάρχει.

Ύπαρξη ορίου στο άπειρο

Ύπαρξη ορίου στο άπειρο

Re: Ύπαρξη ορίου στο άπειρο

Re: Ύπαρξη ορίου στο άπειρο

Re: Ύπαρξη ορίου στο άπειρο

Μέλη σε σύνδεση