Μελέτη

KARKAR · #1

Για τις διάφορες τιμές του θετικού

, μελετήστε ως προς την μονοτονία

και τα ακρότατα , την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{a}{x}-ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 27, 2021 9:02 pm
Για τις διάφορες τιμές του θετικού , μελετήστε ως προς την μονοτονία

και τα ακρότατα , την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{a}{x}-ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)$

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση

ορίζεται όταν $1+\frac{1}{x}>0\Leftrightarrow x<-1,\,\,\,x>0$ οπότε $\Alpha =(-\infty ,\,0)\cup (1,\,+\infty )$ και είναι

$f(x)=\frac{a}{x}-ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)=\frac{a}{x}-\ln |\frac{x+1}{x}|=\frac{a}{x}-\ln |x+1|+\ln |x|$ παραγωγίσιμη με

${f}'(x)=-\frac{a}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}=\frac{x(x+1)-{{x}^{2}}-a(x+1)}{{{x}^{2}}(x+1)}=\frac{x-ax-a}{{{x}^{2}}(x+1)}\Leftrightarrow {f}'(x)=\frac{(1-a)x-a}{{{x}^{2}}(x+1)}$

Για a=1

είναι ${f}'(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}(x+1)}$ και τότε για $x\in (-\infty ,\,-1)\cup (0,\,+\infty )$

είναι ${f}'(x)>0\Leftrightarrow x<-1$ έτσι η

είναι γνήσια αύξουσα στ0 $(-\infty ,\,-1)$ και είναι

${f}'(x)<0\Leftrightarrow x>0$ έτσι η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,+\infty )$

Για $a\ne 1$ τώρα ${f}'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{a}{a-1}$ που για a>0

ανήκει στο $\Alpha$ και τότε έχουμε τις περιπτώσεις:

• 0<a<1

η ρίζα $\rho =\frac{\alpha }{1-\alpha }>0$ και τότε :

${f}'(x)>0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,\,-1)\cup (\rho ,\,\,+\infty )$ άρα η $f\,\,\searrow \,\,(-\infty ,\,\,-1)$ και $[\rho ,\,\,+\infty )$

${f}'(x)<0\Leftrightarrow x\in (0,\,\,\rho )$ άρα $f\,\,\nearrow (0,\,\,\rho ]$ επομένως στο $x=\rho$ παρουσιάζει ελάχιστο

• a>1

η ρίζα $\rho =\frac{\alpha }{1-\alpha }<0$ και τότε :

${f}'(x)>0\Leftrightarrow x\in (\rho ,\,\,-1)$ άρα $f\,\,\nearrow [\rho ,\,\,-1)$

${f}'(x)<0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,\,\,\rho )\cup (0,\,\,+\infty )$ άρα η $f\,\,\searrow \,\,(-\infty ,\,\,\rho )$ και $(0,\,\,+\infty )$

επομένως στο $x=\rho$ παρουσιάζει ελάχιστο

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Μελέτη

Μελέτη

Re: Μελέτη

Μέλη σε σύνδεση