Χωρίς τύπο

erxmer · #1

Δίνεται η παραγωγίσιμη $f: R \to R$ , με σύνολο τιμών το

και η συνάρτηση $g: R \to R$ ώστε:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f^7(x)+3f(x)=x-2, x \in R\\ g^3(x)+g(x)=x-6f'(2), x \in R\\ \end{matrix}\right.}$

1) Nα μελετηθεί η

ως προς την μονοτονία και τη κυρτότητα

2) Να μελετηθεί η

ως προς την συνέχεια στο σημείο x_0=2

3) Nα αποδείξετε οτι η

αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης

4) Αν $\displaystyle{h(x)=\frac{f^{-1}(x)}{x^6+sinx}, x>1}$ , να βρεθεί η ασύμπτωτη της C_h

στο $+\infty$

5) Nα αποδείξετε οτι $\displaystyle{f'(a)(a-2)+2f'(a+2)<f(a+2)<\frac{a-2}{3}+2f'(a), a>2}$

***διορθώση δεδομένων***

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

[quote="erxmer"]Δίνεται η παραγωγίσιμη $f: R \to R$ , με σύνολο τιμών το

και η συνάρτηση $g: R \to R$ ώστε:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f^7(x)+3f(x)=x-2, x \in R\\ g^3(x)+g(x)=x-6f'(2), x \in R\\ f(6)=f(0)+2\\ \end{matrix}\right.}$

Η σχέση

Δεν ισχύει.Γιατί

$f^{7}(6)+3f(6)=4$

$f^{7}(0)+3f(0)=-2$
αφαιρώντας κατά μέλη αν ίσχυε θα είχαμε

$f^{7}(6)-f^{7}(0)=0$

δηλαδή f(6)=f(0)

ΑΤΟΠΟ (θα είχαμε -2=4

)

#3

erxmer έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη $f: R \to R$ , με σύνολο τιμών το και η συνάρτηση $g: R \to R$ ώστε:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f^7(x)+3f(x)=x-2, x \in R\\ g^3(x)+g(x)=x-6f'(2), x \in R\\ \end{matrix}\right.}$

1) Nα μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και τη κυρτότητα

2) Να μελετηθεί η ως προς την συνέχεια στο σημείο

3) Nα αποδείξετε οτι η αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης

4) Αν $\displaystyle{h(x)=\frac{f^{-1}(x)}{x^6+sinx}, x>1}$ , να βρεθεί η ασύμπτωτη της στο $+\infty$

5) Nα αποδείξετε οτι $\displaystyle{f'(a)(a-2)+2f'(a+2)<f(a+2)<\frac{a-2}{3}+2f'(a), a>2}$

***διορθώση δεδομένων***

...Καλησπέρα

μια αντιμετώπιση μέχρι το (4)....

1) Παραγωγίζοντας την σχέση ${{f}^{7}}(x)+3f(x)=x-2,x\in R$ έχουμε ότι

$7{{f}^{6}}(x){f}'(x)+3{f}'(x)=1\Leftrightarrow {f}'(x)=\frac{1}{7{{f}^{6}}(x)+3}>0,\,\,x\in R$ άρα

η

είναι γνήσια αύξουσα στο

και παραγωγίζοντας την {f}'

έχουμε ότι

${f}''(x)=-\frac{42{{f}^{5}}(x){f}'(x)}{{{(7{{f}^{6}}(x)+3)}^{2}}},\,\,x\in R$ (1)

Τώρα για το πρόσημο της

αν στην σχέση ${{f}^{7}}(x)+3f(x)=x-2,x\in R$ για όπου

το

προκύπτει ότι

${{f}^{7}}(2)+3f(2)=0\Leftrightarrow f(2)\left( {{f}^{6}}(2)+3 \right)=0\overset{{{f}^{6}}(2)+3>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f(2)=0$

δηλαδή το ${{x}_{0}}=2$ ρίζα της

που είναι και μοναδική αφού

είναι γνήσια αύξουσα στο

άρα και

και ακόμη για

$x>2\overset{f<}{\mathop{\Rightarrow }}\,f(x)>f(2)>0$ επομένως λόγω (1) και {f}''(x)<0

επομένως η

είναι κοίλη στο $[2,\,\,+\infty )$

και ακόμη για $x<2\overset{f<}{\mathop{\Rightarrow }}\,f(x)<f(2)>0$ επομένως λόγω (1) και {f}''(x)>0

επομένως η

είναι κοίλη στο $(-\infty ,\,2]$

2) Αν $h(x)={{x}^{3}}+x,\,\,x\in R$ τότε ${h}'(x)=3{{x}^{2}}+1>0,\,\,x\in R$ δηλαδή η

είναι γνήσια αύξουσα στο

και από την σχέση

${{g}^{3}}(x)+g(x)=x-6{f}'(2),x\in R$ προκύπτει ότι $h(g(x))=x-6{f}'(2),\,\,\,x\in R$ και επειδή για

${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}-6{f}'(2)<{{x}_{2}}-6{f}'(2)\Rightarrow h(g({{x}_{1}}))<h(g({{x}_{2}}))\overset{h<}{\mathop{\Rightarrow }}\,g({{x}_{1}})<g({{x}_{2}})$ η

είναι γνήσια αύξουσα στο

.

Τώρα για $x<y\overset{g<}{\mathop{\Rightarrow }}\,g(x)<g(y)\Rightarrow {{g}^{3}}(x)<{{g}^{3}}(y)\Rightarrow -g(x)+x-\cancel{6{f}'(2)}<-g(y)+y-\cancel{6{f}'(2)}\Rightarrow$

$-g(x)+g(y)<y-x\Rightarrow |g(x)-g(y)|<|x-y|$ και ανάλογα για

$x>y\overset{g<}{\mathop{\Rightarrow }}\,g(x)>g(y)\Rightarrow {{g}^{3}}(x)>{{g}^{3}}(y)\Rightarrow -g(x)+x-\cancel{6{f}'(2)}>-g(y)+y-\cancel{6{f}'(2)}\Rightarrow$

$-g(x)+g(y)>y-x\Rightarrow g(x)-g(y)<x-y\Rightarrow |g(x)-g(y)|<|x-y|$ άρα ισχύει ότι $|g(x)-g(y)|\le |x-y|,\,\,\,x,y\in R$ επομένως και

$|g(x)-g({{x}_{0}})|\le |x-{{x}_{0}}|\Leftrightarrow -|x-{{x}_{0}}|\le g(x)-g({{x}_{0}})\le |x-{{x}_{0}}|$ και αφού

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,(-|x-{{x}_{0}}|)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,(|x-{{x}_{0}}|)=0$

από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,(g(x)-g({{x}_{0}}))=0\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=g({{x}_{0}})$ άρα η

συνεχής στο

3) Επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα στο

άρα και

αντιστρέφεται με ${{f}^{-1}}:R\to R$ αφού σύνολο τιμών της

είναι τι

από υπόθεση και έτσι με όπου

το ${{f}^{-1}}(y),\,\,\,y\in R$ στην σχέση ${{f}^{7}}(x)+3f(x)=x-2,x\in R$

προκύπτει ότι ${{f}^{7}}({{f}^{-1}}(y))+3f({{f}^{-1}}(y))={{f}^{-1}}(y)-2\Leftrightarrow {{f}^{-1}}(y)={{y}^{7}}+3y+2,\,\,y\in R$

4) Είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}^{-1}}(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{7}}=+\infty$ άρα και

${{f}^{-1}}(x)>0$ στο $+\infty$ και ακόμη $-1\le \sin x\le 1\Leftrightarrow {{x}^{6}}-1\le {{x}^{6}}+\sin x\le {{x}^{6}}+1$ άρα

$\frac{1}{{{x}^{6}}-1}\ge \frac{1}{{{x}^{6}}+\sin x}\ge \frac{1}{{{x}^{6}}+1}\Leftrightarrow \frac{{{f}^{-1}}(x)}{{{x}^{6}}-1}\ge \frac{{{f}^{-1}}(x)}{{{x}^{6}}+\sin x}\ge \frac{{{f}^{-1}}(x)}{{{x}^{6}}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{{{x}^{7}}+3x+2}{{{x}^{6}}-1}\ge h(x)\ge \frac{{{x}^{7}}+3x+2}{{{x}^{6}}+1}$ επομένως για

$\displaystyle{h(x)=\frac{f^{-1}(x)}{x^6+sinx}, x>1}$ ισχύει ότι

$\frac{{{x}^{7}}+3x+2}{{{x}^{7}}-x}\ge \frac{h(x)}{x}\ge \frac{{{x}^{7}}+3x+2}{{{x}^{7}}+x}$ και επειδή

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{7}}+3x+2}{{{x}^{7}}-x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{7}}+3x+2}{{{x}^{7}}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{7}}}{{{x}^{7}}}=1$

από κριτήριο παρεμβολής ισχύει ότι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{h(x)}{x}=1$

Τώρα $h(x)-x=\frac{{{x}^{7}}+3x+2}{{{x}^{6}}+sinx}-x=\frac{{{x}^{7}}+3x+2-{{x}^{7}}-x\sin x}{{{x}^{6}}+sinx}=\frac{3x+2-x\sin x}{{{x}^{6}}+sinx}$

$=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}\frac{3+2\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\sin x}{1+\frac{1}{{{x}^{6}}}sinx}=\frac{1}{{{x}^{4}}}\cdot \frac{3+2\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\sin x}{1+\frac{1}{{{x}^{6}}}sinx}$ και επειδή

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\sin x=0$ (….με κριτήριο παρεμβολής ) προκύπτει ότι

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(h(x)-x)=0$ επομένως η ευθεία y=x

είναι ασύμπτωτη της C_h

στο $+\infty$ .

...τώρα

...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Απόδειξη του 2) σε γενικότερη μορφή υπάρχει στο
viewtopic.php?f=56&t=55881
είναι το 4).

Rempeskes · #5

Καλησπέρα σε όλους.

Μια σκέψη για το (5) ώστε να μην μείνει ανολοκλήρωτη.

Εφαρμόζοντας Θεώρημα Μέσης Τιμής για την

στο

λαμβάνουμε ότι:

$\exists\xi_1 \in (2,a):f'(\xi_1)=\frac{f(a)-f(2)}{a-2}$ (1)

Επίσης, εφαρμόζοντας Θεώρημα Μέσης Τιμής για την

στο

λαμβάνουμε ότι:

$\exists\xi_2 \in (a,a+2):f'(\xi_2)=\frac{f(a+2)-f(a)}{2}$ (2)

έχουμε δείξει προηγουμένως ότι η

γνησίως φθίνουσα $\forall x\geq 2$

Ισχύει:

$a>\xi_1>2 \Rightarrow f'(a)<f'(\xi_1)<f'(2)$

$\Rightarrow f'(a)(a-2)<f'(\xi_1)(a-2)<\frac{a-2}{3}$ (3)

και

$a+2>\xi_2>a \Rightarrow f'(a+2)<f'(\xi_2)<f'(a)$

$\Rightarrow 2f'(a+2)<2f'(\xi_2)<2f'(a)$ (4)

Προσθέτοντας τις (3)

και

δείχνουμε το ζητούμενο (διότι $f'(\xi_1)(a-2)+2f'(\xi_2)=...=f(a+2)$ )

Χωρίς τύπο

Χωρίς τύπο

Re: Χωρίς τύπο

Re: Χωρίς τύπο

Re: Χωρίς τύπο

Re: Χωρίς τύπο

Μέλη σε σύνδεση