Τριγωνομετρικές απαιτήσεις

KARKAR · #1

Μελετήστε τη συνάρτηση : $f(x)=e^x(1-cosx) , x \in [0,2\pi]$ ,

ως προς τα ακρότατα και τα σημεία καμπής .

Βρείτε μια ικανοποιητική προσέγγιση του μεγίστου .

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε:Μελετήστε τη συνάρτηση : $f(x)=e^x(1-cosx) , x \in [0,2\pi]$ ,

ως προς τα ακρότατα και τα σημεία καμπής .

Βρείτε μια ικανοποιητική προσέγγιση του μεγίστου .

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $[0, 2\pi]$ ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Η παράγωγος αυτής δίδεται του τύπου
$\displaystyle{f'(x) = e^x \left( \sin x - \cos x + 1 \right)}$ Μηδενίζουμε την

για να βρούμε τα κρίσιμα. Οπότε έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) =0 &\Leftrightarrow \sin x - \cos x + 1 =0 \\ &\Leftrightarrow \cos x - \sin x = 1 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) =1 \\ &\Leftrightarrow \sin \left ( \frac{\pi}{4} -x \right ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & 0\\\\ x & = & \dfrac{3\pi}{2} \\\\ x & = & 2\pi \end{matrix}\right. \end{aligned}}$ Εύκολα ( !! ) βλέπουμε πως γύρω από το $\frac{3\pi}{2}$ το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει και μάλιστα στο σημείο αυτό η

παρουσιάζει ολικό μέγιστο ίσο με $\displaystyle{f\left ( \frac{3\pi}{2} \right ) = e^{3 \pi/2}}$ ενώ $f(0) = f(2\pi) =0$ . Στα σημεία x=0

και $x = 2\pi$ η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.

H

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με δεύτερη παράγωγο
$\displaystyle{f''(x) = e^x \left ( 2 \sin x + 1 \right )}$ η οποία μηδενίζεται όταν $x = \frac{7 \pi}{6}$ και $x = \frac{11\pi}{6}$ . Πάλι εύκολα βλέπουμε ότι το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου αλλάζει εκατέρωθεν των σημείων αυτών και άρα εκεί έχουμε καμπή.

Υ.Σ: Τώρα αυτά τα "εύκολα" απαιτούν πολλές δικαιολογήσεις αλλά λόγω της ημέρας ... να με συμπαθάτε !! Ελπίζω μόνο να μη μου ξέφυγε κάτι.

#3

KARKAR έγραψε:Μελετήστε τη συνάρτηση : $f(x)=e^x(1-cosx) , x \in [0,2\pi]$ ,

ως προς τα ακρότατα και τα σημεία καμπής .

Βρείτε μια ικανοποιητική προσέγγιση του μεγίστου .

Καλημέρα!

$\displaystyle{f'(x) = {e^x}(\sin x - \cos x + 1) = 0 \Leftrightarrow \sin x - \cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + 2{\sin ^2}\frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sin \frac{x}{2}\left( {\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{0 \le x \le 2\pi } }$ $\boxed{x = 0 \vee x = \frac{{3\pi }}{2} \vee x = 2\pi }$

● Ολικό ελάχιστο

για

ή $x=2\pi.$

● Ολικό μέγιστο $\displaystyle{{e^{\frac{{3\pi }}{2}}} \simeq 111,31777}$ για $x=\dfrac{3\pi}{2}$

$\displaystyle{f''(x) = {e^x}(2\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{0 \le x \le 2\pi } }$ $\boxed{x = \frac{{7\pi }}{6} \vee x = \frac{{11\pi }}{6}}$

Έχουμε λοιπόν τα σημεία καμπής, $\boxed{A\left( {\frac{{7\pi }}{6},\frac{1}{2}(1 + \sqrt 3 ){e^{\frac{{7\pi }}{6}}}} \right)}$ και $\boxed{B\left( {\frac{{11\pi }}{6},\frac{1}{2}(1 - \sqrt 3 ){e^{\frac{{11\pi }}{6}}}} \right)}$

Σημείωση: Για όλα αυτά βέβαια χρειάζεται το πρόσημο των παραγώγων, το οποίο είναι χρονοβόρο όταν αφορά σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Προσωπικά χρησιμοποιώ το (ανεξήγητα παντοτινά εκτός ύλης) πρόσημο του $\displaystyle{f''({x_0})}$

π.χ..... $\displaystyle{f''(3\pi /2) = - {e^{\frac{{3\pi }}{2}}} < 0}$ , άρα μέγιστο κλπ.

Με πρόλαβε ο Τόλης (Γεια σου Τόλη και Χρόνια Πολλά!) Το αφήνω...

Τριγωνομετρικές απαιτήσεις

Τριγωνομετρικές απαιτήσεις

Re: Τριγωνομετρικές απαιτήσεις

Re: Τριγωνομετρικές απαιτήσεις

Μέλη σε σύνδεση