Εμβαδόν καμπυλόγραμης επιφάνειας

angvl · #1

: geogebra-export.png (370.85 KiB) Προβλήθηκε 1406 φορές

Καλησπέρα και καλό μήνα. Μια ακόμη άσκηση απ τον κ. Γακόπουλο που είναι άλυτη στο μαθηματικό εργαστήρι. Συγχωρέστε με αν ο φάκελος δεν είναι ο σωστός.

Σε ορθοκανονικό σύστημα χOy δίνεται η έλλειψη : $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1}$ και τα σημεία $\diplaystyle A(3,0) , B(-3,0)$ .

Προς την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού γράφουμε γωνίες $\displaystyle \angle AOD = 60^0 , \angle ABC = 30^0$ , όπου $\displaystyle D ,C$

σημεία της έλλειψης. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του καμπυλόγραμου $\displaystyle (OBCD)$

#2

angvl έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2019 2:30 pm

Καλησπέρα και καλό μήνα. Μια ακόμη άσκηση απ τον κ. Γακόπουλο που είναι άλυτη στο μαθηματικό εργαστήρι. Συγχωρέστε με αν ο φάκελος δεν είναι ο σωστός.

Σε ορθοκανονικό σύστημα χOy δίνεται η έλλειψη : $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1}$ και τα σημεία $\diplaystyle A(3,0) , B(-3,0)$ .

Προς την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού γράφουμε γωνίες $\displaystyle \angle AOD = 60^0 , \angle ABC = 30^0$ , όπου $\displaystyle D ,C$

σημεία της έλλειψης. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του καμπυλόγραμου $\displaystyle (OBCD)$

Καλησπέρα και καλή σχολική χρονιά!

Αντί για λεπτομερή λύση παραθέτω το ακόλουθο σχήμα:

: Εμβαδόν ....png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 1300 φορές

Στη σχέση των εμβαδών υπάρχουν τα εμβαδά δύο τριγώνων και ένα που
υπολογίζεται κατά τα γνωστά με ολοκλήρωμα....
Οι συντεταγμένες των σημείων υπολογίζονται και είναι:

$\displaystyle{x_D=\sqrt{\frac{36}{31}}, \ \ \ \ y_D=\sqrt{\frac{108}{31}}}$

και

$\displaystyle{x_C=\frac{3}{7}, \ \ \ \ y_C=\frac{8\sqrt{3}}{7}}$

Κώστας Δόρτσιος

angvl · #3

Καλημέρα κ.Κώστα!

$\diplaystyle AC : y - 0 = \tan 30^0 (x+3) \Rightarrow$ $\displaysstyle AC : y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x+3)$

$\displaystyle OD : y = tan60^0 x \Rightarrow OD : y = \sqrt{3} x$

$\displaystyle C : \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4} = 1$

Aν λύσουμε το σύστημα της

και της

θα βρούμε τo σημείο

και το σημείο

που μας το δίνετε. Aν λύσουμε το σύστημα της

και της

θα βρούμε το σημείο

που επίσης μας το δίνετε και το συμμετρικό του

ως πρός την αρχή των αξόνων. Τώρα αφου γνωρίζουμε τα παραπάνω σημεία , μπορούμε να υπολογίσουμε τα ζήτουμενα εμβαδά.

$\displaystyle (AEC) = \frac{1}{2} AE EC = \frac{1}{2}(3+\frac{3}{7})\frac{8\sqrt{3}}{7} = \frac{96\sqrt{3}}{49}$

$\displaystyle (CEZD) = \int_{\frac{3}{7}}^{\sqrt{\frac{36}{31}}}\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}dx$ . Το ολοκλήρωμα αυτό υπολογίζεται με την αντικατάσταση

$\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{3},$ αλλά επειδή τα νούμερα δεν βοηθούν πήρα την βοήθεια του wolfram και βρήκα

$\displaystyle (CEDZ) \approx 1.2538$

$\displaystyle (ODZ) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{36}{31}}\sqrt{\frac{108}{31}}.$ Συνεπώς

$\displaystyle (OACD) = \frac{96\sqrt{3}}{49} + 1.2538 - \frac{\sqrt{3888}}{62} \approx 3.64150$

(Νομίζω ότι δουλεύει μια χαρά τώρα το Latex)

Εμβαδόν καμπυλόγραμης επιφάνειας

Εμβαδόν καμπυλόγραμης επιφάνειας

Re: Εμβαδόν καμπυλόγραμης επιφάνειας

Re: Εμβαδόν καμπυλόγραμης επιφάνειας

Μέλη σε σύνδεση