Τρίγωνο εφαπτομένων

miltosk · #1

Καλημέρα. Μια ιδιοκατασκευή:
Έστω f(x)=e^x-lnx

. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ζεύγος εφαπτομένων της C_f

τέτοιες ώστε τα σημεία: το σημείο τομής τους Α και τα σημεία τομής των εφαπτομένων με τον άξονα x'x, να ορίζουν ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο.
Έχω βέβαια ένα μικρό ενδοιασμό για το κατά πόσο είναι σωστό (σε περίπτωση λάθους στείλτε μου ΠΜ).

KARKAR · #2

: Τρίγωνο εφαπτομένων.png (10.25 KiB) Προβλήθηκε 1547 φορές

Είναι : $f'(x)=\dfrac{xe^x-1}{x} , x>0$ . Αρκεί να υπάρχουν σημεία Q(q,f(q)) ,
S(s,f(s))

της $C_{f}$ ,

ώστε : f'(q)=-1

και

. Αυτό μπορεί να προκύψει εύκολα με Bolzano στις :

g(x)=xe^x+x-1

και

, σε κατάλληλα

διαστήματα . Στην πραγματικότητα : $q\simeq0.40106 , s\simeq 0.80647$

Ηλίας Θ. · #3

Λίγο διαφορετικά
$D_f=\left(0,+\infty\right)$ και $f'(x)=e^x-\dfrac{1}{x},\; f''(x)=e^x+\dfrac{1}{x^2}>0$
Οπότε

συνεχής, γνησίως αύξουσα και 1-1

.
Επειδή το τρίγωνο πρέπει να είναι ορθογώνιο, θα πρέπει η ορθή γωνία να σχηματίζεται από τις εφαπτομένες κι όχι από μία εφαπτομένη και τον άξονα x'x

.
Για να είναι και ισοσκελές θα πρέπει να υπάρχουν εφαπτομένες που σχηματίζουν με τον άξονα x'x

γωνίες

και

, δηλαδή να υπάρχουν x_1>0

και

τέτοια ώστε $f'\left(x_1\right)=1$ και $f'\left(x_2\right)=-1$
Όμως $f'\left((0,+\infty)\right)=\left(\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x),\lim_{x\rightarrow +\infty}f'(x)\right)=\left(-\infty,+\infty\right),$
Άρα υπάρχουν τέτοια σημεία και είναι μοναδικά

miltosk · #4

Ηλίας Θ. έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2020 9:55 pm Λίγο διαφορετικά
$D_f=\left(0,+\infty\right)$ και $f'(x)=e^x-\dfrac{1}{x},\; f''(x)=e^x+\dfrac{1}{x^2}>0$
Οπότε συνεχής, γνησίως αύξουσα και .
Επειδή το τρίγωνο πρέπει να είναι ορθογώνιο, θα πρέπει η ορθή γωνία να σχηματίζεται από τις εφαπτομένες κι όχι από μία εφαπτομένη και τον άξονα .
Για να είναι και ισοσκελές θα πρέπει να υπάρχουν εφαπτομένες που σχηματίζουν με τον άξονα γωνίες και , δηλαδή να υπάρχουν και τέτοια ώστε $f'\left(x_1\right)=1$ και $f'\left(x_2\right)=-1$
Όμως $f'\left((0,+\infty)\right)=\left(\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x),\lim_{x\rightarrow +\infty}f'(x)\right)=\left(-\infty,+\infty\right),$
Άρα υπάρχουν τέτοια σημεία και είναι μοναδικά

αυτό είχα στο νου μου

Τρίγωνο εφαπτομένων

Τρίγωνο εφαπτομένων

Re: Τρίγωνο εφαπτομένων

Re: Τρίγωνο εφαπτομένων

Re: Τρίγωνο εφαπτομένων

Μέλη σε σύνδεση