Ο θόλος

KARKAR · #1

: Ο θόλος.png (11.23 KiB) Προβλήθηκε 1143 φορές

Το

είναι σημείο της διαμέτρου AOB=2r

ενός ημικυκλίου ώστε : OS=d

. Από το

αναχωρεί

φωτεινή ακτίνα η οποία ανακλάται στον "θόλο" του ημικυκλίου , σε σημείο του ,

και συνεχίζοντας

ξανασυναντά την διάμετρο στο

.

α) Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το μήκος της διαδρομής του φωτός .

β) Δείξτε ότι όταν η διαδρομή αυτή ελαχιστοποιηθεί , θα είναι : $TP \perp AB$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 06, 2021 9:34 am
Ο θόλος.pngΤο είναι σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου ώστε : . Από το αναχωρεί

φωτεινή ακτίνα η οποία ανακλάται στον "θόλο" του ημικυκλίου , σε σημείο του , και συνεχίζοντας

ξανασυναντά την διάμετρο στο .

α) Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το μήκος της διαδρομής του φωτός .

β) Δείξτε ότι όταν η διαδρομή αυτή ελαχιστοποιηθεί , θα είναι : $TP \perp AB$ .

Για το β)

Προφανώς η

είναι διχοτόμος.

Αν

το μέσο του

τότε έχουμε

$2OT\leq 2OM\leq TP+TS$

Η ισότητα πιάνεται όταν το

συμπίπτει με το

.
Δεν βλέπω γιατί έχουμε καθετότητα.
Χάνω κάτι ;

Συμπλήρωμα.
Ο KARKAR με πληροφόρησε ότι το

είναι σταθερό.
Ετσι η παραπάνω λύση είναι για άλλο πρόβλημα

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 06, 2021 9:34 am
Ο θόλος.pngΤο είναι σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου ώστε : . Από το αναχωρεί

φωτεινή ακτίνα η οποία ανακλάται στον "θόλο" του ημικυκλίου , σε σημείο του , και συνεχίζοντας

ξανασυναντά την διάμετρο στο .

α) Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το μήκος της διαδρομής του φωτός .

β) Δείξτε ότι όταν η διαδρομή αυτή ελαχιστοποιηθεί , θα είναι : $TP \perp AB$ .

α) Προφανώς η

είναι διχοτόμος του τριγώνου STP.

Έστω

με

οπότε:

$\displaystyle x = \frac{{PT(x + d)}}{{f(x)}},d = \frac{{ST(d + x)}}{{f(x)}} \Rightarrow ST \cdot TP = \frac{{xd}}{{{{(x + d)}^2}}}{f^2}(x)$

: Ο θόλος.png (15.18 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Αλλά, $\displaystyle {r^2} = T{O^2} = ST \cdot TP - xd = \frac{{xd}}{{{{(x + d)}^2}}}{f^2}(x) - xd \Leftrightarrow$ $\boxed{f(x) = \frac{{(x + d)\sqrt {{r^2} + xd} }}{{\sqrt {xd} }}}$

β) Η παράγωγος της $\displaystyle {f^2}(x)$ είναι $\displaystyle \frac{{d(x + d)}}{{{x^2}{d^2}}}\left( {2{x^2}d + {r^2}x - {r^2}d} \right),$ άρα το ζητούμενο άθροισμα ελαχιστοποιείται

όταν $\boxed{d = \frac{{{r^2}x}}{{{r^2} - 2{x^2}}}}$ (1)

Είναι όμως, $\displaystyle PT = \frac{{xf(x)}}{{x + d}} = \sqrt {\frac{{{r^2}x + {x^2}d}}{d}} \Leftrightarrow P{T^2} = \frac{{{r^2}x + {x^2}d}}{d}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle P{T^2} = {r^2} - {x^2} = (r + x)(r - x) = AP \cdot PB \Leftrightarrow$ $\boxed{TP\bot AB}$

#4

μια ακομη λυση για το α)

Aπο το Θ ΣΥΝ/ΩΝ στα $\displaystyle{OST,OTP}$ kαι αν $\displaystyle{a=TP,b=ST,\phi=$ \widehat{SOT}}

έχουμε

$\displaystyle{ b^2=d^2+r^2-2rdcos(\phi ),a^2=x^2+r^2-2xr(-cos(\phi ))}$ oπότε

$\displaystyle{\frac{d^2+r^2-b^2}{2rd}=-\frac{x^2+r^2-a^2}{2xr}}$

και απο το Θ.Διχ στο $\displaystyle{STP}$ είναι $\displaystyle{\frac{x}{d}=\frac{a}{b}}$

Λυνουμε το σύστημα των 2 τελευταίων σχέσεων

$\displaystyle{a+b=\frac{x+d}{\sqrt{xd}}\sqrt{r^2+dx}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 06, 2021 9:34 am
Ο θόλος.pngΤο είναι σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου ώστε : . Από το αναχωρεί

φωτεινή ακτίνα η οποία ανακλάται στον "θόλο" του ημικυκλίου , σε σημείο του , και συνεχίζοντας

ξανασυναντά την διάμετρο στο .

α) Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το μήκος της διαδρομής του φωτός .

β) Δείξτε ότι όταν η διαδρομή αυτή ελαχιστοποιηθεί , θα είναι : $TP \perp AB$ .

Μια λύση ακόμη για το πρώτο ερώτημα.

Για το δεύτερο ,δεν βρήκα διαφορετική λύση από το φίλο Γιώργο Βισβίκη

Οι παράλληλες από τα P,S

προς την διχοτόμο

της γωνίας STP

τέμνουν τις ST,PT

στα

αντίστοιχα

και EDPS

ισοσκελές τραπέζιο

$\dfrac{r}{PD}= \dfrac{d}{x+d} \Rightarrow PD= \dfrac{r(x+d)}{d}$ και $\dfrac{r}{EA}= \dfrac{x}{x+d} \Rightarrow EA= \dfrac{r(x+d)}{x}$

Ο Πτολεμαίος δίνει $SD^2=(x+d) ^2+ \dfrac{r^2(x+d)^2}{xd } \Rightarrow (ST+TD)^2= \dfrac{(x+d)^2}{xd} (r^2+xd)$

: θόλος.png (32.32 KiB) Προβλήθηκε 954 φορές

Ο θόλος

Ο θόλος

Re: Ο θόλος

Re: Ο θόλος

Re: Ο θόλος

Re: Ο θόλος

Μέλη σε σύνδεση