Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης 3

KARKAR · #1

: Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης 3.png (1.02 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

Κινητό διήνυσε την απόσταση AB=100 m

, ως εξής : Μέχρι το σημείο

κινήθηκε με σταθερή ταχύτητα 10m/sec

,

σημείο στο οποίο η ταχύτητά του αίφνης μηδενίστηκε , αμέσως δε συνέχισε την κίνηση , με σταθερή επιτάχυνση $2m/{sec}^2$ .

Δημιουργήστε συνάρτηση

, μεταβλητής

, η οποία να αποδίδει την συνολική διάρκεια της κίνησης .

Πόσο το πολύ μπορεί να διαρκέσει αυτό το "ταξίδι" ; Υπάρχει λύση χωρίς χρήση παραγώγου ;

#2

$\displaystyle \begin{array}{l} {s_1} + {s_2} = 100 \Leftrightarrow 10{t_1} + \frac{1}{2}2t_2^2 = 100 \Leftrightarrow {t_1} = \frac{{100 - t_2^2}}{{10}}\,\,\,\,\,(1)\\ {t_1} + {t_2} = \frac{{100 - t_2^2}}{{10}} + {t_2} = \frac{{100 - t_2^2 + 10{t_2}}}{{10}} = - \frac{{t_2^2}}{{10}} + {t_2} + 10,\,\,\,\,{t_2} \ge 0\\ f({t_2}) = - \frac{{t_2^2}}{{10}} + {t_2} + 10,\,\,\,\,{t_2} \ge 0 \end{array}$
To τριώνυμο παρουσιάζει μέγιστο στο $\displaystyle - \beta /2\alpha$ δηλαδή στο $\displaystyle {t_2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2/10}} = 5s$
$\displaystyle (1) \Rightarrow {t_1} = 7,5s$
Άρα $\displaystyle {t_{o\lambda }} = 12,5s$ είναι η μέγιστη διάρκεια του ταξιδιού

#3

Αλλιώς, αν AS=x, SB=100-x,

τότε: $\displaystyle t(x) = {t_1} + {t_2} = \frac{x}{{10}} + \sqrt {100 - x} ,0 \le x \le 100$

Τα υπόλοιπα με παράγωγο, $\displaystyle {t_{\max }} = \frac{{25}}{2}\sec$ όταν x=75m.

Χωρίς παράγωγο, παίρνω $\displaystyle t(x) = y \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {x^2} + 20(5 - y)x + 100({y^2} - 100) = 0$

και από $\displaystyle \Delta \ge 0$ προκύπτει $\boxed{t(x) = y \le \frac{{25}}{2}}$

Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης 3

Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης 3

Re: Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης 3

Re: Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης 3

Μέλη σε σύνδεση