Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙ τάξη 9)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.

1. Μπορούμε να χωρίσουμε τους φυσικούς αριθμούς από το 0 έως το 301 σε ζεύγη, τους αριθμούς κάθε ζεύγους να τους αθροίσουμε και τα αθροίσματα αυτά να τα πολλαπλασιάσουμε μεταξύ τους, ώστε το γινόμενο που προκύπτει να είναι 15η δύναμη φυσικού αριθμού;

2. Στην Μετεξεταστούπολη 6000 μαθητές συμμετείχαν στην Ενιαία Εξέταση Μετεξεταστέων, στην οποία μπορεί να πάρει κανείς από 0 έως 8 βαθμούς. Μετά την διόρθωση των γραπτών όσοι πήραν βαθμούς 1,2 και 3 τα γραπτά τους έτυχαν νέας διόρθωσης και έλαβαν τον βαθμό 0. Όσοι είχαν γράψει βαθμό 5, 6 και 7 τους έγινε διόρθωση προς τα πάνω και έλαβαν βαθμό 8 (τα υπόλοιπα αποτελέσματα δεν άλλαξαν). Μετά από αυτές τις διορθώσεις βαθμών ο μέσος όρος όλων των μαθητών αυξήθηκε κατά 0,1 βαθμούς. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί ( $0 \leq a,b \leq 8$ , ώστε ο αριθμός των μαθητών, που πριν τις διορθώσεις είχαν βαθμό

και ο αριθμός των μαθητών πριν τις διορθώσεις είχε βαθμό

, διαφέρουν τουλάχιστον κατά 100.

3. Στη σειρά είναι γραμμένα κάμποσα μηδενικά και μονάδες. Μεταξύ οποιονδήποτε 200 διαδοχικών ψηφίων το πλήθος των μηδενικών και μονάδων είναι ίσο και μεταξύ οποιονδήποτε 202 διαδοχικών ψηφίων, διαφορετικό. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ψηφιών που μπορεί να έχει αυτή η ψηφιοσειρά;

4. Το δευτέρου βαθμού τριώνυμο 2ax^2+bx+c

με θετικό μεγιστοβάθμιο συντελεστή είναι τέτοιο, ώστε κάθε μία από τις ευθείες

y=ax+b, y=bx+a, y=bx+c, y=cx+b, y=ax+c, y=cx+a

να τέμνει την γραφική παράστασή του το πολύ σε ένα σημείο. Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η ποσότητα $\dfrac{c}{a}$ ;

5. Στο τρίγωνο ABC

οι προεκτάσεις των διαμέσων από τις κορυφές A,B

τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία $A_{1}$ και $B_{1}$ αντίστοιχα. Στις πλευρές AC , BC

διαλέγουμε σημεία P,Q

αντίστοιχα, ώστε AP=2PC, BQ=2QC

. Να δείξετε ότι $\angle APB_{1} = \angle BQA_{1}$ .

Υγ. Η μαθηματική ολυμπιάδα της Πετρούπολης, μία από τις πιο παλιές, διεξάγεται τα τελευταία χρόνια σε δυο φάσεις. Η πρώτη φάση είναι ανοιχτή σε όλους τους μαθητές και είναι θα λέγαμε σε επίπεδο δημοτικών διαμερισμάτων. Οι νικητές της πρώτης φάσης καλούνται να διαγωνιστούν στη δεύτερη και τελική φάση (επίπεδο πόλης). Στη δεύτερη φάση διαγωνίζονται περίπου 100 μαθητές ανά τάξη και η εξέταση γίνεται στο μαθηματικό τμήμα του κρατικού πανεπιστημιίου της Πετρούπολης. Η ιδιαιτερότητα του διαγωνισμού είναι ότι η δεύτερη φάση είναι προφορική. Οι διαγωνιζόμενοι καλούνται να λύσουν αρχικά 4 προβλήματα. Όσοι καταφέρουν να λύσουν, συνήθως 2-3 προβλήματα, καλούνται να λύσουν άλλα 3 σε διαφορετική αίθουσα. Ο μαθητής έχει το δικαίωμα να πάει στην έδρα και να εξηγήσει την λύση του τρεις φορές. Κατά την διαδικασία αυτή δύναται να του ζητηθούν και περαιτέρω εξηγήσεις, γενικεύσεις κτλ. Η διόρθωση γίνεται από καθηγητές σχολείων, του πανεπιστημίου και από φοιτητές.

JimNt. · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.

1. Μπορούμε να χωρίσουμε τους φυσικούς αριθμούς από το 0 έως το 300 σε ζεύγη, τους αριθμούς κάθε ζεύγους να τους αθροίσουμε και τα αθροίσματα αυτά να τα πολλαπλασιάσουμε μεταξύ τους, ώστε το γινόμενο που προκύπτει να είναι 15η δύναμη φυσικού αριθμού;

Μάλλον η διατύπωση είναι λάθος... Οι ακέραιοι στο διάστημα [0,300]

είναι

σε αριθμό...

Al.Koutsouridis · #3

JimNt. έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.

1. Μπορούμε να χωρίσουμε τους φυσικούς αριθμούς από το 0 έως το 300 σε ζεύγη, τους αριθμούς κάθε ζεύγους να τους αθροίσουμε και τα αθροίσματα αυτά να τα πολλαπλασιάσουμε μεταξύ τους, ώστε το γινόμενο που προκύπτει να είναι 15η δύναμη φυσικού αριθμού;

Μάλλον η διατύπωση είναι λάθος... Οι ακέραιοι στο διάστημα είναι σε αριθμό...

301 είναι το σωστό. Διωρθώθηκε και στην αρχική ανάρτηση.

Ευχαριστώ!

#4

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.

5. Στο τρίγωνο οι προεκτάσεις των διαμέσων από τις κορυφές τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία $A_{1}$ και $B_{1}$ αντίστοιχα. Στις πλευρές διαλέγουμε σημεία αντίστοιχα, ώστε . Να δείξετε ότι $\angle APB_{1} = \angle BQA_{1}$ .

: Petroupolis (ΦI 9).png (27.62 KiB) Προβλήθηκε 2009 φορές

Έστω

το βαρύκεντρο του τριγώνου. Επειδή $\displaystyle{\frac{{BG}}{{BN}} = \frac{{BQ}}{{QC}} = 2 = \frac{{AG}}{{GM}} = \frac{{AP}}{{PC}}}$ , το GPCQ

είναι παραλληλόγραμμο

και σε συνδυασμό με τις εγγεγραμμένες γωνίες, όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, οπότε τα τετράπλευρα

BA_1QG, AGPB_1

είναι εγγράψιμα. Άρα: $\displaystyle{A\widehat P{B_1} = {B_1}\widehat GA = B\widehat G{A_1} = B\widehat Q{A_1}}$

JimNt. · #5

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.

1. Μπορούμε να χωρίσουμε τους φυσικούς αριθμούς από το 0 έως το 301 σε ζεύγη, τους αριθμούς κάθε ζεύγους να τους αθροίσουμε και τα αθροίσματα αυτά να τα πολλαπλασιάσουμε μεταξύ τους, ώστε το γινόμενο που προκύπτει να είναι 15η δύναμη φυσικού αριθμού;

Χωρίζουμε τους αριθμούς στα εξής ζεύγη (0,1), (2,301), (3,300)... (151, 152)

(έχουμε ένα ζεύγος της μορφής (a,b)

,

και

της μορφής (x,y) , x+y=301

. Επομένως, το γινόμενο είναι ίσο με $1\cdot 303^{150}=(303^{10})^{15}$ .

nikkru · #6

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.

3. Στη σειρά είναι γραμμένα κάμποσα μηδενικά και μονάδες. Μεταξύ οποιονδήποτε 200 διαδοχικών ψηφίων το πλήθος των μηδενικών και μονάδων είναι ίσο και μεταξύ οποιονδήποτε 202 διαδοχικών ψηφίων, διαφορετικό. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ψηφιών που μπορεί να έχει αυτή η ψηφιοσειρά;

Το μέγιστο πλήθος ψηφίων είναι 300 και μια ενδεικτική λύση είναι: $\underset{100}{\underbrace{1 \; 1.\;.\;.\;1 \; 1 \; }} \; \underset{100}{\underbrace{0 \; 0 \; .\;.\;. \; 0 \; 0 \; }} \; \underset{100}{\underbrace{ \; 1 \; 1 \; .\;.\;.\; 1 \; 1}}$ .

Ας πάρουμε 200 διαδοχικά ψηφία ώστε 100 από αυτά να είναι μονάδες και 100 από αυτά να είναι μηδενικά και ας αριθμήσουμε τη θέση τους από αριστερά προς τα δεξιά: 1η, 2η, 3η, . . . 200η.
Αν θέλουμε να συνεχίσουμε προς τα δεξιά την ψηφιοσειρά πρέπει το ψηφίο που είναι στην 201η θέση να είναι το ίδιο με αυτό που είναι στην 1η θέση, αυτό που είναι στην 202η να είναι ίδιο με αυτό που είναι στην 2η θέση κ.ο.κ. ώστε να έχουμε σε 200 διαδοχικές θέσεις από 100 μονάδες και 100 μηδενικά.
Πρέπει όμως στις θέσεις 1-202 να έχουμε 102 μηδενικά και 100 μονάδες ή το αντίστροφο, δηλαδή πρέπει να είναι το ίδιο ψηφίο στις θέσεις 201, 202 όπως και στις 1 και 2.
Η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται το πολύ μέχρι την θέση 300, αφού στις θέσεις 1-200 έχουμε ακριβώς 100 ίδια ψηφία, έχοντας στις θέσεις 1-100 και 201-300 το ένα ψηφίο(π.χ. το 1) και στις θέσεις 101-200 το άλλο ψηφίο ( το 0) .
Η ψηφιοσειρά δεν μπορεί να επεκταθεί άλλο ούτε προς τα δεξιά αφού θα πρέπει στην 301η θέση να βάλουμε το ψηφίο που έχουμε στην 101η θέση με αποτέλεσμα στις θέσεις 99-301 να έχουμε από 101 μονάδες και μηδενικά. Για τον ίδιο λόγο δεν μπορούμε να επεκτείνουμε την ψηφιοσειρά ούτε προς τα αριστερά.

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.

#7

Al.Koutsouridis έγραψε: 2. Στην Μετεξεταστούπολη 6000 μαθητές συμμετείχαν στην Ενιαία Εξέταση Μετεξεταστέων, στην οποία μπορεί να πάρει κανείς από 0 έως 8 βαθμούς. Μετά την διόρθωση των γραπτών όσοι πήραν βαθμούς 1,2 και 3 τα γραπτά τους έτυχαν νέας διόρθωσης και έλαβαν τον βαθμό 0. Όσοι είχαν γράψει βαθμό 5, 6 και 7 τους έγινε διόρθωση προς τα πάνω και έλαβαν βαθμό 8 (τα υπόλοιπα αποτελέσματα δεν άλλαξαν). Μετά από αυτές τις διορθώσεις βαθμών ο μέσος όρος όλων των μαθητών αυξήθηκε κατά 0,1 βαθμούς. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί ( $0 \leq a,b \leq 8$ , ώστε ο αριθμός των μαθητών, που πριν τις διορθώσεις είχαν βαθμό και ο αριθμός των μαθητών πριν τις διορθώσεις είχε βαθμό , διαφέρουν τουλάχιστον κατά 100.

Για $n \in \{0,1,2\ldots,8\}$ ας γράψουμε x_n

για το πλήθος των μαθητών που έλαβαν βαθμό

. Μετά τις διορθώσεις, το άθροισμα των βαθμών των μαθητών αυξήθηκε κατά

$\displaystyle{D = 3x_5 + 2x_6 + x_7 - 3x_3 - 2x_2 - x_1 = 3(x_5-x_3) + 2(x_6-x_2) + (x_7-x_1)}$

Αφού έχουμε 6000

μαθητές και ο μέσος όρος αυξήθηκε κατά 0.1

, αυτό σημαίνει ότι $D = 6000 \times (0.1) = 600$ .

Άρα πρέπει $x_5 - x_3 \geqslant 100$ ή $x_6 - x_2 \geqslant 100$ ή $x_7-x_1 \geqslant 100$ αφού σε αντίθετη περίπτωση θα είχαμε $D \leqslant 597$ .

Το ζητούμενο έπεται.

Al.Koutsouridis · #8

4. Το δευτέρου βαθμού τριώνυμο με θετικό μεγιστοβάθμιο συντελεστή είναι τέτοιο, ώστε κάθε μία από τις ευθείες

να τέμνει την γραφική παράστασή του το πολύ σε ένα σημείο. Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η ποσότητα $\dfrac{c}{a}$ ;

Εφόσον κάθε μία από τις ευθείες τέμνει το τριώνυμο το πολύ σε ένα σημείο και a >0

, η διακρίνουσα

για κάθε μία από τις παρακάτω εξισώσεις θα πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση του μηδενός.

$2ax^2+bx+c = ax+b \Rightarrow D = (b-a)^2-8a(c-b) \leq 0$ (1)

$2ax^2+bx+c = bx+a \Rightarrow D = -8a(c-a) \leq 0$ (2)

$2ax^2+bx+c = bx+c \Rightarrow D = 0 \leq 0$ (3)

$2ax^2+bx+c = cx+b \Rightarrow D = (b-c)^2-8a(c-b) \leq 0$ (4)

$2ax^2+bx+c = ax+c \Rightarrow D = (b-a)^2 \leq 0$ (5)

$2ax^2+bx+c = cx+a \Rightarrow D = (b-c)^2 -8a(c-a) \leq 0$ (6)

Από την (2) επειδή a >0

προκύπτει ότι $a \leq c$ (7)

Από την (5) έχουμε ότι a =b

οπότε και οι (4) και (6) γίνονται

$D = (a-c)^2-8a(c-a) = (a-c)^2+8a(a-c)=(a-c)(a-c+8a) = a(a-c)(1-\dfrac{c}{a}+8) \leq 0$

λόγο της (7) θα πρέπει $-\dfrac{c}{a} +9 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{c}{a} \leq 9$
Επομένως ο μεγιστος λόγος είναι 9. Μένει να επαληθεύσουμε ότι για c=9a , a=b

ισχύουν τα δεδομένα του προβλήματος...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙ τάξη 9)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙ τάξη 9)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙ τάξη 9)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙ τάξη 9)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙ τάξη 9)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙ τάξη 9)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙ τάξη 9)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙ τάξη 9)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙ τάξη 9)

Μέλη σε σύνδεση