Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων Α.Πετρούπολη 2015(4η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων Αγίας Πετρούπολης 2015.
Θέματα της δεύτερης φάσης για την 4η τάξη.

Βασική αίθουσα

1. Η σημερινή ημερομηνία γράφεται έτσι: 22.11.2015. Πόσες ακόμα ημερομηνίες, του ίδιου έτους, άραγε γράφονται με τα ίδια ψηφία;


2. Δείξτε, πως μπορεί να κοπεί μια σκακιέρα () σε μερικά ίσα κομμάτια έτσι, ώστε να προκύψει ότι κάθε άσπρο κελί να είναι μη κομμένο και κάθε μαύρο κελί κομμένο.


3. Μαζεύτηκαν κάπως δυο ξωτικά η Ίλσα και η Έλσα, καθώς και δυο νάνοι ο Γκρινιάρης και ο Χαζούλης. Κάποιος, ένας από αυτούς, δώρισε κάτι στο κοινό τους φίλο, άνθρωπο Βασίλειο, και ύστερα ο καθένας τους είπε:

- Το δώρο ήταν ένα ξίφος.
- Εγώ δεν δώρισα τίποτα.
- Η Ίλσα δώρισε ένα περιδέραιο.
- Ο Γκρινιάρης δώρισε ξίφος.

Είναι γνωστό, ότι τα ξωτικά λένε ψέματα, όταν μιλάνε για τους νάνους και οι νάνοι λένε ψέματα, όταν μιλάνε για δώρα. Στις άλλες περιπτώσεις όλοι λένε την αλήθεια. Προσδιορίστε, τι δωρίσθηκε και από ποιόν.


4. Μια ομάδα παιδιών ενός παιδικού σταθμού έχει συνολικά 90 δόντια. Οποιαδήποτε δυο παιδάκια μαζί έχουν το πολύ 9 δόντια. Ποιος μπορεί να είναι ο ελάχιστος αριθμός παιδιών σε αυτή την ομάδα;

Καταληκτική αίθουσα

5. Δίνονται 9 αριθμοί (φυσικοί). Ο πρώτος γράφεται μόνο με μονάδες, ο δεύτερος μόνο με δυάρια, … , ο ένατος μόνο με εννιάρια. Μπορεί άραγε ένας από αυτούς τους αριθμούς να ισούται με το άθροισμα όλων των υπόλοιπων;


6. Ο Διονύσης χρωμάτισε μερικές έδρες των κύβων του με γκρι χρώμα. Ο Νίκος διάλεξε 10 κύβους έτσι, ώστε όλοι τους να διαφέρουν κατά χρωματισμό. Έπειτα τους τοποθέτησε όπως στο σχήμα. Πόσες συνολικά άσπρες έδρες έχει ο κύβος στην κορυφή; [attachment=0]ymo_2015_class4.png[/attachment] 7. Σε αποκριάτικο πάρτι συμμετείχαν 20 παιδιά. Σε κάθε χορό συμμετείχαν δυο. Προέκυψε, ότι ένδεκα από αυτά χόρεψαν με τρεις παρτενέρ, ένα με πέντε και τα υπόλοιπα οχτώ με έξη. Να αποδείξετε, ότι σε κάποιο χορό συμμετείχαν παιδιά του ίδιου φύλου.

[nikkru]

Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων Αγίας Πετρούπολης 2015.
Θέματα της δεύτερης φάσης για την 4η τάξη.

5. Δίνονται 9 αριθμοί (φυσικοί). Ο πρώτος γράφεται μόνο με μονάδες, ο δεύτερος μόνο με δυάρια, … , ο ένατος μόνο με εννιάρια. Μπορεί άραγε ένας από αυτούς τους αριθμούς να ισούται με το άθροισμα όλων των υπόλοιπων;

Αν ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι άρτιος, το άθροισμα των υπολοίπων οχτώ είναι περιττός ( πέντε περιττοί και τρεις άρτιοι)

ενώ αν ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι περιττός , το άθροισμα των υπολοίπων οχτώ είναι άρτιος ( τέσσερις περιττοί και τέσσερις άρτιοι).

Έτσι, σε κάθε περίπτωση δεν μπορεί ένας από αυτούς να ισούται με το άθροισμα των υπολοίπων.

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

1. Η σημερινή ημερομηνία γράφεται έτσι: 22.11.2015. Πόσες ακόμα ημερομηνίες, του ίδιου έτους, άραγε γράφονται με τα ίδια ψηφία;

To δε θα αλλάξει. Επειδή έχουμε μόνο μήνες, ο μήνας θα είναι πάντα Δεκέμβρης. Άρα, έχουμε τις ημερομηνίες:

, δηλαδή ημερομηνίες γράφονται με τα ίδια ψηφία.

[nikkru]

Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων Αγίας Πετρούπολης 2015.
Θέματα της δεύτερης φάσης για την 4η τάξη.

6. Ο Διονύσης χρωμάτισε μερικές έδρες των κύβων του με γκρι χρώμα. Ο Νίκος διάλεξε 10 κύβους έτσι, ώστε όλοι τους να διαφέρουν κατά χρωματισμό. Έπειτα τους τοποθέτησε όπως στο σχήμα. Πόσες συνολικά άσπρες έδρες έχει ο κύβος στην κορυφή;

Οι διαφορετικοί χρωματισμοί των κύβων είναι δέκα (λόγω συμμετρίας):
ένας κύβος με έξι λευκές έδρες ,ένας κύβος με έξι γκρίζες έδρες, ένας κύβος με μια λευκή έδρα, ένας κύβος με μια γκρίζα έδρα,
δύο κύβοι με 2 έδρες λευκές ( ο ένας κύβος έχει δύο απέναντι έδρες λευκές και ο άλλος έχει δύο έδρες με κοινή ακμή λευκές),
δύο κύβοι με 2 γκρίζες έδρες αντίστοιχα και τέλος, δυο κύβοι με τρεις λευκές και τρεις γκρίζες έδρες
( ο ένας κύβος έχει τρεις γκρίζες έδρες με κοινή κορυφή και ο άλλος έχει τρεις γκρίζες έδρες χωρίς κοινή κορυφή).

Στην επόμενη εικόνα βλέπουμε τα αναπτύγματα των δέκα διαφορετικών κύβων και κάτω από κάθε ανάπτυγμα
αν ο αντίστοιχος κύβος έχει κορυφή με γειτονικές: 3 άσπρες έδρες ή 3 γκρίζες έδρες ή 2 γκρίζες και μια άσπρη έδρα.
(αφού στην εικόνα που μας έδωσαν φαίνονται μόνο τρεις έδρες κάθε κύβου που έχουν κοινή κορυφή)

Πετρούπολη2015_θ8.png (6.72 KiB) Προβλήθηκε 2139 φορές

Επομένως ο κύβος στην κορυφή έχει ακριβώς 4 άσπρες έδρες (και μόνο δύο απέναντι έδρες του είναι γκρίζες, η πάνω και η κάτω).

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων Αγίας Πετρούπολης 2015.

4.Μια ομάδα παιδιών ενός παιδικού σταθμού έχει συνολικά 90 δόντια. Οποιαδήποτε δυο παιδάκια μαζί έχουν το πολύ 9 δόντια. Ποιος μπορεί να είναι ο ελάχιστος αριθμός παιδιών σε αυτή την ομάδα;

Θα πρέπει αναγκαστικά όλα τα παιδιά να έχουν από 4 δόντια και κάτω . Για να επιτευχθεί ο ελάχιστος αριθμός παιδιών , θα πρέπει τα παιδιά να

έχουν όσο το δυνατόν περισσότερα δόντια . Επειδή μέχρι το 90 είναι 22 παιδιά με 4 δόντια και πεισσεύουν 2 δόντια , έστω ότι ένα παιδί έχει 2 δόντια .

Άρα , ο ελάχιστος αριθμός παιδιών είναι .

[Al.Koutsouridis]

Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων Αγίας Πετρούπολης 2015.

4.Μια ομάδα παιδιών ενός παιδικού σταθμού έχει συνολικά 90 δόντια. Οποιαδήποτε δυο παιδάκια μαζί έχουν το πολύ 9 δόντια. Ποιος μπορεί να είναι ο ελάχιστος αριθμός παιδιών σε αυτή την ομάδα;

Θα πρέπει αναγκαστικά όλα τα παιδιά να έχουν από 4 δόντια και κάτω . Για να επιτευχθεί ο ελάχιστος αριθμός παιδιών , θα πρέπει τα παιδιά να

έχουν όσο το δυνατόν περισσότερα δόντια . Επειδή μέχρι το 90 είναι 22 παιδιά με 4 δόντια και πεισσεύουν 2 δόντια , έστω ότι ένα παιδί έχει 2 δόντια .

Άρα , ο ελάχιστος αριθμός παιδιών είναι .

Γειά σου Νικόλα. Το τελικό αποτέλεσμα είναι σωστό, αλλά η δικαιολόγηση είναι ελλιπής. Για παράδειγμα η πρόταση με κόκκινο παραπάνω...

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων Αγίας Πετρούπολης 2015.

4.Μια ομάδα παιδιών ενός παιδικού σταθμού έχει συνολικά 90 δόντια. Οποιαδήποτε δυο παιδάκια μαζί έχουν το πολύ 9 δόντια. Ποιος μπορεί να είναι ο ελάχιστος αριθμός παιδιών σε αυτή την ομάδα;

Θα πρέπει αναγκαστικά όλα τα παιδιά να έχουν από 4 δόντια και κάτω . Για να επιτευχθεί ο ελάχιστος αριθμός παιδιών , θα πρέπει τα παιδιά να

έχουν όσο το δυνατόν περισσότερα δόντια . Επειδή μέχρι το 90 είναι 22 παιδιά με 4 δόντια και πεισσεύουν 2 δόντια , έστω ότι ένα παιδί έχει 2 δόντια .

Άρα , ο ελάχιστος αριθμός παιδιών είναι .

Γειά σου Νικόλα. Το τελικό αποτέλεσμα είναι σωστό, αλλά η δικαιολόγηση είναι ελλιπής. Για παράδειγμα η πρόταση με κόκκινο παραπάνω...

Έχετε δίκιο . Έπρεπε να μην το γράψω καθόλου αυτό . Θα μπορούσε να έχουν όλα 1 δόντι και ένα να έχει 8 δόντια ...

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

2. Δείξτε, πως μπορεί να κοπεί μια σκακιέρα () σε μερικά ίσα κομμάτια έτσι, ώστε να προκύψει ότι κάθε άσπρο κελί να είναι μη κομμένο και κάθε μαύρο κελί κομμένο.

Σκακιέρα.png (10.32 KiB) Προβλήθηκε 1980 φορές

Κάνουμε το ίδιο σε όλη τη Σκακιέρα , ώστε σε κάθε γραμμοσκιασμένο χωρίο να υπάρχει ένα ολόκληρο άσπρο κελί και δύο μαύρα μισά κελιά .

[Demetres]

4. Μια ομάδα παιδιών ενός παιδικού σταθμού έχει συνολικά 90 δόντια. Οποιαδήποτε δυο παιδάκια μαζί έχουν το πολύ 9 δόντια. Ποιος μπορεί να είναι ο ελάχιστος αριθμός παιδιών σε αυτή την ομάδα;

Ας γράψουμε μια πλήρη απόδειξη.

Αν κάθε παιδί έχει το πολύ δόντια, τότε υπάρχουν τουλάχιστον παιδιά. (Αν υπάρχαν το πολύ , το πλήθος των δοντιών τους θα ήταν το πολύ .)

Αν υπάρχει παιδί που έχει δόντια, τότε κάθε άλλο παιδί έχει το πολύ δόντια. Τα υπόλοιπα παιδιά έχουν συνολικά δόντια. Πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον άλλα παιδιά. (Αν υπάρχαν το πολύ , το πλήθος των δοντιών τους θα ήταν το πολύ .) Μαζί με αυτό που έχει δόντια πάλι έχουμε τουλάχιστον παιδιά.

Αν υπάρχει παιδί που τουλάχιστον δόντια, τότε κάθε άλλο παιδί έχει το πολύ δόντια. Τα υπόλοιπα παιδιά έχουν συνολικά τουλάχιστον δόντια αφού το πρώτο παιδί έχει το πολύ δόντια. Πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον άλλα παιδιά. Μαζί με το πρώτο παιδί έχουμε τουλάχιστον παιδιά.

Άρα σε κάθε περίπτωση πρέπει να έχουμε τουλάχιστον παιδιά. Αυτό μπορεί π.χ. να επιτευχθεί αν παιδιά έχουν από δόντια και το άλλο παιδί έχει δόντια.

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

3. Μαζεύτηκαν κάπως δυο ξωτικά η Ίλσα και η Έλσα, καθώς και δυο νάνοι ο Γκρινιάρης και ο Χαζούλης. Κάποιος, ένας από αυτούς, δώρισε κάτι στο κοινό τους φίλο, άνθρωπο Βασίλειο, και ύστερα ο καθένας τους είπε:

-Το δώρο ήταν ένα ξίφος.
-Εγώ δεν δώρισα τίποτα.
-Η Ίλσα δώρισε ένα περιδέραιο.
-Ο Γκρινιάρης δώρισε ξίφος.

Είναι γνωστό, ότι τα ξωτικά λένε ψέματα, όταν μιλάνε για τους νάνους και οι νάνοι λένε ψέματα, όταν μιλάνε για δώρα. Στις άλλες περιπτώσεις όλοι λένε την αλήθεια. Προσδιορίστε, τι δωρίσθηκε και από ποιόν.

Ξεκινάμε από το τρίτο . Όποιος και αν το είπε , νάνος ή ξωτικό , καταλαβαίνουμε ότι η Ίλσα δώρισε κάτι . Αφού η Ίλσα δώρισε κάτι , ο Γκρινιάρης δε

δώρισε τίποτα και αφού τα ξωτικά λένε ψέματα όταν μιλάνε για νάνους , το είπε ή η Ίλσα ή η Έλσα . Επίσης , καταλαβαίνουμε ότι το δώρο ήταν ένα

ξίφος αφού τα ξωτικά όταν μιλάνε για δώρα λένε αλήθεια . Άρα συμπεραίνουμε ότι :