Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2021 (7η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 7ης τάξης για την 2η φάση, 16 Φεβρουαρίου 2021.


1. Ο Κώστας έγραψε με κάποια σειρά όλα τα κλάσματα με αριθμητή και παρονομαστή από έως . Προέκυψε ότι, το άθροισμα του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος είναι ίσο με το γινόμενό τους, το άθροισμα του τρίτου και του τέταρτου ίσο με το γινόμενό τους κ.ο.κ, το άθροισμα του -ου και -ου είναι ίσο με το γινόμενό τους. Να αποδείξετε, ότι άθροισμα του -ου και -ου κλάσματος θα είναι και αυτό ίσο με το γινόμενό τους. (Κ.Κόχας, Ν.Βλάσοβα)


2. Στο τρίγωνο φέρουμε την διάμεσο . Στην πλευρά θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε . Να αποδείξετε, ότι στο επίπεδο θα βρεθεί σημείο τέτοιο, ώστε , και . (A.Κουζνέτσοβ)


3. Δίνεται ένας ορθογώνιος πίνακας . Στο πάνω αριστερά κελί του βρίσκεται ένα πιόνι. Η Αλεξάνδρα και η Όλγα με την σειρά (ξεκινάει η Αλεξάνδρα) μετακινούν το πιόνι κατά ένα κελί δεξιά ή κάτω. Θα λέμε, ότι συνέβη στροφή, αν η κατεύθυνση της κίνησης ενός παίχτη διαφέρει από την κατεύθυνση της κίνησης του αντιπάλου που προηγήθηκε. Αν την στιγμή που το πιόνι φτάσει στο κάτω δεξιά κελί συνέβησαν άρτιο αριθμό στροφές , τότε νικάει η Αλεξάνδρα αλλιώς η Όλγα. Για ποιες τιμές του η Όλγα μπορεί να εξασφαλίσει στον εαυτό της την νίκη ανεξάρτητα του πως θα παίξει η Αλεξάνδρα; (Ο. Μπαντάζκοβα)


4. Στην σειρά είναι γραμμένοι φυσικοί αριθμοί. Κάθε αριθμός, ξεκινώντας από τον τρίτο, ισούται με το γινόμενο των δυο προηγούμενων. Πόσα τέλεια τετράγωνα μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των αριθμών; (Φέρτε όλες τις απαντήσεις και αποδείξετε, ότι δεν υπάρχουν άλλες.) (Ν. Φιλόνοβ)


Καταληκτική αίθουσα


5. Στο επίπεδο δίνονται σημεία, καμία τριάδα εκ των οποίων δε βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ή κάθετη ευθεία. Ο Σέργιος θέλει να τοποθετήσει τους αριθμούς και σε αυτά τα σημεία έτσι, ώστε το άθροισμα όλων των αριθμών, που βρίσκονται αριστερά οποιασδήποτε κάθετης γραμμής, να είναι ίσο , ή και το άθροισμα όλων των αριθμών που βρίσκονται πάνω από οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία να είναι και αυτό ίσο με , ή . Αληθεύει άραγε ότι για οποιαδήποτε τοποθέτηση των σημείων μπορεί να το επιτύχει; (Σ. Μπερλόβ)


6. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της έκφρασης



Όπου και οποιοιδήποτε θετικοί ακέραιοι. (Ως συνήθως με συμβολίζουμε την ακέραια τιμή του αριθμού , δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος, που δεν υπερβαίνει τον .) (A. Χραμπρόβ)


7. Στο εσωτερικό ενός κυρτού τετράπλευρου δίνονται δυο σημεία και τέτοια, ώστε τα τρίγωνα και να είναι ισοσκελή. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των περιμέτρων των τριγώνων και , δεν είναι μικρότερο της περιμέτρου του . (Α. Κουζνέτσοβ)


Πηγή

[Manolis Petrakis]

6. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της έκφρασης



Όπου και οποιοιδήποτε θετικοί ακέραιοι. (Ως συνήθως με συμβολίζουμε την ακέραια τιμή του αριθμού , δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος, που δεν υπερβαίνει τον .) (A. Χραμπρόβ)

Χρόνια πολλά και καλές γιορτές!
Εξ ορισμού έχουμε ότι: .
Επομένως


(Από ΑΜ-ΓΜ).
Άρα .
Το = επιτυγχάνεται όταν π.χ. .