Το καταφύγιο του Δρυΐδη, παρατήρηση 2

[Hrhstos]

Μια απορία πάνω στα έξτρα θέματα Λυκείου στον τόμο 7 Καγκουρό 2013

Παρατήρηση 2. Αν έχουµε 4 κυρτά σύνολα και γνωρίζουµε ότι οποιαδήποτε 3 από αυτά
έχουν κοινό σηµείο, τότε και τα 4 θα έχουν κοινό σηµείο.

Σχηματικά είναι λογικό να προκύπτει αλλά δεν βλέπω μαθηματικά το γιατί.

Το Hint που δίνεται είναι ότι η τομή 2 κυρτών συνόλων είναι κυρτό σύνολο.

Ευπρόσδεκτη κάθε υπόδειξη-απάντηση.

[Mihalis_Lambrou]

Μια απορία πάνω στα έξτρα θέματα Λυκείου στον τόμο 7 Καγκουρό 2013

Παρατήρηση 2. Αν έχουµε 4 κυρτά σύνολα και γνωρίζουµε ότι οποιαδήποτε 3 από αυτά
έχουν κοινό σηµείο, τότε και τα 4 θα έχουν κοινό σηµείο.

Σχηματικά είναι λογικό να προκύπτει αλλά δεν βλέπω μαθηματικά το γιατί.

Το Hint που δίνεται είναι ότι η τομή 2 κυρτών συνόλων είναι κυρτό σύνολο.

Ευπρόσδεκτη κάθε υπόδειξη-απάντηση.

Καλώς ήλθες στο mathematica.

Στο βιβλίο που αναφέρεσαι υπάρχει ήδη η απόδειξη γραμμένη απλά και κατανοητά, οπότε προς τι η απορία;

Το ότι η τομή δύο κυρτών συνόλων είναι κυρτό σύνολο είναι τετριμμένο και άλλωστε η απόδειξη υπάρχει στην σελίδα 60 του εν λόγω βιβλίου.

Όπως και να είναι, το εν λόγω θεώρημα (και μάλιστα αρκετά γενικότερο από την εκδοχή που χρειάζεται και αποδεικνύεται στο παραπάνω βιβλίο) ονομάζεται Θεώρημα Helly. Υπάρχει με απόδειξη π.χ.

εδώ και εδώ,

και σε πολλά ακόμη μέρη.

[Hrhstos]

Απίστευτο, σας ευχαριστώ πολύ, το 2ο λινκ με κάλυψε πλήρως.

Όπως και να είναι, το εν λόγω θεώρημα (και μάλιστα αρκετά γενικότερο από την εκδοχή που χρειάζεται και αποδεικνύεται στο παραπάνω βιβλίο) ονομάζεται Θεώρημα Helly. Υπάρχει με απόδειξη π.χ.

εδώ και εδώ,

και σε πολλά ακόμη μέρη.

Για αυτό με την τομή δεν είχα κάποιο πρόβλημα. Το ανέφερα σαν υποσημείωση μήπως χρειαζόταν στην απόδειξη, αν κάποιος στο φορουμ προσπαθούσε να το αποδείξει.

Δεν μου ήταν σαφής ο τρόπος γενίκευσης από τους κυκλικούς δίσκους σε γενικά κυρτά σύνολα. Μπερδευόμουν και με τις ακτίνες της γενικής περίπτωσης που δεν είναι κατ' ανάγκη R.
Επίσης, νομίζω ότι υπάρχει μια μικρή ασυμφωνία στα σχήματα και στα λόγια. Πιο συγκεκριμένα τα ΚΑ, ΚΒ,ΚΓ,ΚΔ κατέληξαν να είναι τα Α,Β,Γ,Δ.
(Βέβαια κατέβασα την online έκδοση από την σελίδα του καγκουρό. Δεν ξέρω στην έντυπη αν είναι αλλιώς)

Αλλά πλέον είναι απολύτως ξεκάθαρο.
Ευχαριστώ και πάλι!

[Mihalis_Lambrou]

Δεν μου ήταν σαφής ο τρόπος γενίκευσης από τους κυκλικούς δίσκους σε γενικά κυρτά σύνολα. Μπερδευόμουν και με τις ακτίνες της γενικής περίπτωσης που δεν είναι κατ' ανάγκη R.

.
Δεν υπάρχει λόγος να δυσκολευτείς γιατί το θέμα είναι απλούστατο. Θα σε διευκολύνει αν διαβάσεις τα σχόλια στο εν λόγω βιβλίο στην μέση της σελίδας . Άλλωστε το βιβλίο είναι σαφέστατο όταν συνοψίζει την κατάσταση στο τέλος της ίδιας σελίδας στο σημείο που λέει

Η απόδειξη που παραθέσαμε στην Παρατήρηση 1 εξέταζε κύκλους, όμως διαμορφώνεται αυτούσια σε απόδειξη του εξής για κυρτά σύνολα...
.

Επίσης, νομίζω ότι υπάρχει μια μικρή ασυμφωνία στα σχήματα και στα λόγια. Πιο συγκεκριμένα τα ΚΑ, ΚΒ,ΚΓ,ΚΔ κατέληξαν να είναι τα Α,Β,Γ,Δ.

.
Δεν βλέπω να υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα στο βιβλίο, σε αυτό το σημείο. Τα είναι τα κέντρα των κύκλων ενώ τα είναι κοινά σημεία των κύκλων ανά τρεις. Άλλο το ένα και άλλο το άλλο, και σωστά τα βλέπω γραμμένα.

Όπως και να είναι, ελπίζω να χάρηκες την ανάγνωση το άρθρου, και μπράβο που ασχολήθηκες.