Τεστ Εξάσκησης (57), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Δύο μαθητές παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι:
Στο πρώτο τετράγωνο (από αριστερά) ενός ορθογωνίου $1\times 2011$ βρίσκεται ένα πιόνι.
Οι παίκτες μπορούν να μετακινήσουν το πιόνι προς τα δεξιά κατά 1,2,3,4

ή

τετράγωνα.
Κερδίζει όποιος τοποθετήσει το πιόνι στο τελευταίο τετράγωνο.
Ποιος έχει στρατηγική νίκης; Τι συμβαίνει αν το ορθογώνιο ήταν $1\times 2012$ ;

ΘΕΜΑ 2
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ φέρουμε τη διχοτόμο

και τα ύψη BE,CF

.Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων BFD,CDE

τέμνονται στο σημείο

.Να αποδειχθεί ότι ME=MF

.

ΘΕΜΑ 3
Δίνεται το σύνολο $A=\{1,2,..,1987\}$ . Να δείξετε ότι σε οποιοδήποτε υποσύνολο του

έστω

με

μπορούμε να βρούμε a,b,c

τέτοια ώστε (a,b)=(b,c)=(c,a)=1

.

ΘΕΜΑ 4
Αν a,b,c,d

πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι $(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)\geq 2(a+c)(b+d)$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;

#2

socrates έγραψε: Τετ Μαρ 22, 2023 12:35 am ΘΕΜΑ 2
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ φέρουμε τη διχοτόμο και τα ύψη .Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων τέμνονται στο σημείο . Να αποδειχθεί ότι .

: Μικροί(57).png (22.11 KiB) Προβλήθηκε 996 φορές

Το

είναι το σημείο $\rm Miquel$ του ABC

που αντιστοιχεί στα σημεία D, E, F

κι επειδή τα BE, CF

είναι

ύψη, δηλαδή το BFEC

εγγράψιμο, το

θα βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο AD.

Άρα,

#3

socrates έγραψε: Τετ Μαρ 22, 2023 12:35 am ΘΕΜΑ 2
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ φέρουμε τη διχοτόμο και τα ύψη .Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων τέμνονται στο σημείο .Να αποδειχθεί ότι .

Πρώτα –πρώτα γράφω τον κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ . Τα σημεία B,C,E,F

είναι ομοκυκλικά γιατί τα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ βλέπουν την

υπό ορθές γωνίες .

Θα ισχύει λοιπόν, $AE \cdot AC = AF \cdot AB\,\,\,\left( 1 \right)$ . Τώρα γράφω τον κύκλο ${C_1} \to \left( {B,D,F} \right)$ .

Ο πιο πάνω κύκλος τέμνει ακόμα την διχοτόμο

στο σημείο

και άρα :

$AM \cdot AD = AF \cdot AB\,\,\,\left( 2 \right)$ οπότε λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω : $AM \cdot AD = AE \cdot AC\,\,\,\left( 3 \right)$ ,

σχέση που μας εγγυάται ότι τα σημεία E,M,D,C

ανήκουν σε ένα κύκλο , έστω ${C_2}$ .

: Τεστ 57 μοκροί.png (44.07 KiB) Προβλήθηκε 972 φορές

Επειδή τώρα $\widehat {\theta _{}^{}} + \widehat {B_{}^{}} = \widehat {\omega _{}^{}} + \widehat {C_{}^{}} = 180^\circ$ αναγκαστικά : $\boxed{\widehat {EMF} + \widehat {A_{}^{}} = 180^\circ }$ .

Δηλαδή και τα σημεία $A\,,\,F\,,\,M\,,\,E$ ανήκουν σε ένα κύκλο έστω ${C_3}$

του οποίου οι ίσες γωνίες , λόγω διχοτόμου, στο

θα αντιστοιχούν σε ίσα τόξα. Οπότε : $\displaystyle \boxed{ME = MF}$ .

#4

socrates έγραψε: Τετ Μαρ 22, 2023 12:35 am ΘΕΜΑ 1
Δύο μαθητές παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι:
Στο πρώτο τετράγωνο (από αριστερά) ενός ορθογωνίου $1\times 2011$ βρίσκεται ένα πιόνι.
Οι παίκτες μπορούν να μετακινήσουν το πιόνι προς τα δεξιά κατά ή τετράγωνα.
Κερδίζει όποιος τοποθετήσει το πιόνι στο τελευταίο τετράγωνο.
Ποιος έχει στρατηγική νίκης; Τι συμβαίνει αν το ορθογώνιο ήταν $1\times 2012$ ;

Στην περίπτωση του $1\times 2011$ ορθογωνίου, ο δεύτερος παίκτης έχει στρατηγική νίκης, την εξής: Σε κάθε κίνηση του πρώτου, ας πούμε με μετακίνηση του πιονιού κατά

θέσεις όπου $1\le m \le 5$ , απαντά με μετακίνηση του πιονιού κατά 6-m

θέσεις (δηλαδή μαζί θα προχωρήσουν το πιόνι κατά

θέσεις). Έτσι μετά από 334

κινήσεις εκάστου, το πιόνι θα βρεθεί στην θέση $1+334\times 6 = 2005$ . Τώρα είναι η σειρά του πρώτου να παίξει. Μένουν

ακόμα τετράγωνα. Ό,τι και να κάνει, είναι προφανές ότι ο δεύτερος παίκτης θα κερδίσει.

Στην περίπτωση του $1\times 2012$ ορθογωνίου, ο πρώτος παίκτης έχει στρατηγική νίκης, την εξής: Θα προχωρήσει κατά μία θέση. Ουσιαστικά δηλαδή το πιόνι θα βρίσκεται στην πρώτη θέση ενός $1\times 2011$ ορθογωνίου (του υπόλοιπου) και ο ίδιος γινέται τώρα ο δεύτερος παίκτης. Αν ακολουθήσει την στρατηγική που έκανε ο δεύτερος στην περίπτωση του $1\times 2011$ ορθογωνίου, θα κερδίσει. Το είδαμε στο προηγούμενο παιχνίδι.

Ορέστης Λιγνός · #5

socrates έγραψε: Τετ Μαρ 22, 2023 12:35 am ΘΕΜΑ 4
Αν πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι $(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)\geq 2(a+c)(b+d)$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;

Θέτουμε $x=a\sqrt{2}, y=b\sqrt{2}, z=c\sqrt{2}$ και $w=d\sqrt{2}$ , οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι

$(x^2+y^2+2)(z^2+w^2+2) \geq 4(x+z)(y+w),$ δηλαδή ισοδύναμα ότι

$((w^2+z^2)(x^2+y^2)+4-4xw-4yz)+2(x-y)^2+2(z-w)^2 \geq 0$

(καλό, ε;

), η οποία ισχύει διότι

$(w^2+z^2)(x^2+y^2)+4-4xw-4yz) \geq (wx+yz)^2-4(wx+yz)+4=(wx+yz-2)^2 \geq 0$

από την ανισότητα Cauchy-Schwarz, οπότε η πρώτη παρένθεση είναι μη αρνητική, όπως και οι υπόλοιπες δύο.

Η ισότητα ισχύει όταν x=y

,

και

. Επομένως, $(x,y,z,w)=(\ell,\ell,1/\ell,1/\ell)$ με $\ell \in \mathbb{R^*}$ , δηλαδή

(a,b,c,d)=(k,k,1/(2k),1/(2k)

με $k \in \mathbb{R^*}$ .

#6

Τα θέματα 1 και 4 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Τεστ Εξάσκησης (57), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (57), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (57), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (57), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (57), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (57), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (57), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση