Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

#1

ΘΕΜΑ 1
Ποιοι θετικοί ακέραιοι γράφονται ως άθροισμα (δύο τουλάχιστον) διαδοχικών θετικών ακεραίων;

ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ΘΕΜΑ 3
Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=(x+1)^p(x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...a_{n-1}x+a_n,$ όπου

και

θετικοί ακέραιοι.
α) Αν a_1=a_2

, να δείξετε ότι ο αριθμός

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
β) Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη $(p,q)\in \Bbb{N}^2$ τέτοια ώστε a_1=a_2

.

ΘΕΜΑ 4
Έστω ακέραιος n > 1

. Να βρεθεί το ελάχιστο

ώστε όπως και να τοποθετήσουμε

πιόνια σε μια $n \times n$ σκακιέρα, να υπάρχουν

τα οποία να σχηματίζουν παραλληλόγραμμο.
Σημείωση: Εννοείται ότι κάθε πιόνι τοποθετείται ακριβώς στο κέντρο ενός από τα τετραγωνάκια της σκακιέρας.

#2

socrates έγραψε: Σάβ Μαρ 25, 2023 2:24 am ΘΕΜΑ 1
Ποιοι θετικοί ακέραιοι γράφονται ως άθροισμα (δύο τουλάχιστον) διαδοχικών θετικών ακεραίων

Έστω ότι $\displaystyle{a}$ είναι θετικός ακέραιος. Τότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

(1) $\displaystyle{a=2n+1}$ , όπου $\displaystyle{n\in N}$

Έχουμε: $\displaystyle{a=n +(n+1)}$ και άρα ο $\displaystyle{a}$ γράφεται ως άθροισμα διαδοχικών θετικών ακεραίων

(2) $\displaystyle{a=2n}$ , $\displaystyle{n\in N}$

Θα διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις:

(2α): Αν ο $\displaystyle{a}$ είναι δύναμη με βάση το 2.

Τότε $\displaystyle{a=2^m}$ , όπου $\displaystyle{m}$ θετικός ακέραιος.

Θα αποδείξουμε ότι σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι δυνατόν να γραφτεί ο $\displaystyle{a}$ , ως άθροισμα διαδοχικών θετικών ακεραίων.

Πράγματι, έστω ότι υπάρχει $\displaystyle{k}$ θετικός ακέραιος, ώστε να είναι: $\displaystyle{a=k+(k+1)+(k+2)+ . . . +(k+w)}$ , όπου $\displaystyle{w}$ θετικός ακέραιος.

Τότε θα έχουμε: $\displaystyle{2^m = (w+1)k +\frac{w(w+1)}{2} \Rightarrow 2^{m+1}=2(w+1)k+w(w+1) \Rightarrow}$

$\displaystyle{2^{m+1}=(w+1)(2k+w)}$ .

Άρα πρέπει:

$\displaystyle{w+1=2^b}$ , όπου $\displaystyle{b }$ θετικός ακέραιος

$\displaystyle{2k+w=2^c}$ , όπου $\displaystyle{c}$ θετικός ακέραιος.

Άρα: $\displaystyle{2k +2^b -1 =2^c \Rightarrow 2k-1 = 2^c - 2^b}$ , το οποίο είναι άτοπο, αφού το πρώτο μέλος είναι περιττός και το δεύτερο άρτιος.

Άρα κάθε αριθμός θετικός που είναι δύναμη με βάση το $\displaystyle{2}$ , δεν μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα διαδοχικών θετικών ακεραίων.

(2β): Αν ο $\displaystyle{a}$ δεν μπορεί να γραφτεί ως δύναμη με βάση το $\displaystyle{2}$

Τότε ο $\displaystyle{a}$ , μπορεί να πάρει την μορφή $\displaystyle{a=2^r (2t+1),}$ όπου $\displaystyle{r , t}$ θετικοί ακέραιοι.

Τώρα όμως μπορούμε να γράψουμε:

$\displaystyle{a=(2^r -t)+[2^r-(t-1)]+...+(2^r-2)+(2^r-1)+2^r +(2^r+1)+(2^r+2)+...+[2^r+(t-1)]+(2^r +t)}$

δηλαδή ο $\displaystyle{a}$ γράφεται ως άθροισμα διαδοχικών θετικών ακεραίων.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Κάθε θετικός ακέραιος, που δεν είναι δύναμη με βάση το $\displaystyle{2}$ , μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο τουλάχιστον

διαδοχικών θετικών ακεραίων

Ορέστης Λιγνός · #3

socrates έγραψε: Σάβ Μαρ 25, 2023 2:24 am ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Μόνες λύσεις είναι η ταυτοτική και η μηδενική συνάρτηση, που προφανώς επαληθεύουν την δοσμένη συναρτησιακή σχέση. Από δω και στο εξής υποθέτουμε ότι η

δεν είναι η μηδενική συνάρτηση. Η λύση δομείται σε κάποιους Ισχυρισμούς.

Ισχυρισμός 1: Ισχύει ότι f(0)=0

.
Απόδειξη: Για y=0

η αρχική δίνει ότι f(f(x))=f(x)+xf(0)

. Με

έχουμε ότι f(f(0))=f(0)

, συνεπώς

συνεπώς

, όπως θέλαμε. $\blacksquare$

Ισχυρισμός 2: Ισχύει ότι f(-1)=-1

.
Απόδειξη: Με y=0

η αρχική δίνει ότι f(f(x))=f(x)

. Επομένως, με $x \rightarrow f(x)$ και y=-1

προκύπτει ότι

f(f(f(x))-f(x))=f(x)f(-1)+f(x),

συνεπώς

, και αφού η

δεν είναι η μηδενική συνάρτηση πρέπει f(-1)+1=0

, δηλαδή

$\blacksquare$

Ισχυρισμός 3: Ισχύει ότι $f(1) \neq 0$ .
Απόδειξη: Έστω πως f(1)=0

. Τότε, με y=1

η αρχική δίνει ότι

f(f(x)+x)=f(x),

και άρα με x=-1

προκύπτει ότι f(-2)=-1

. Με

τώρα προκύπτει ότι f(-3)=-1

. Συνεχίζοντας έχουμε ότι f(-n)=-1

για κάθε θετικό ακέραιο

.

Τώρα, με x=-1

η αρχική δίνει ότι f(-x-1)=-f(x)-1

, συνεπώς προκύπτει ότι f(n)=0

για κάθε θετικό ακέραιο

. Τώρα, με x=-2

και

η αρχική δίνει ότι

f(4+f(-2))=-2f(-2)+f(-2),

δηλαδή ότι

f(3)=-f(-2),

δηλαδή

, άτοπο $\blacksquare$

Ισχυρισμός 4: Αν f(u)=0

για κάποιο $u \in \mathbb{R}$ , τότε u=0

.
Απόδειξη: Πράγματι, με x=u

και

η αρχική δίνει ότι uf(1)=0

, και αφού $f(1) \neq 0$ προκύπτει ότι u=0

$\blacksquare$

Ισχυρισμός 5: Η συνάρτηση

είναι η ταυτοτική.
Απόδειξη: Για κάθε $x \neq 0$ θέτουμε $y=\dfrac{x-f(x)}{x}$ , οπότε προκύπτει ότι

$f(\dfrac{x-f(x)}{x})=0,$

το οποίο από τον Ισχυρισμό 4 δίνει ότι f(x)=x

. Αφού

η συνάρτηση

είναι πράγματι η ταυτοτική $\blacksquare$

Ορέστης Λιγνός · #4

socrates έγραψε: Σάβ Μαρ 25, 2023 2:24 am ΘΕΜΑ 3
Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=(x+1)^p(x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...a_{n-1}x+a_n,$ όπου και θετικοί ακέραιοι.
α) Αν , να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
β) Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη $(p,q)\in \Bbb{N}^2$ τέτοια ώστε .

Κάπως απλό νομίζω.

α) Είναι εύκολο να δούμε ότι ο συντελεστής του $x^{n-1}$ είναι p-3q

και του $x^{n-2}$ είναι $\displaystyle -3pq+\binom{q}{2}(-3)^2+\binom{p}{2},$ συνεπώς

$\displaystyle p-3q=-3pq+\binom{q}{2}(-3)^2+\binom{p}{2},$ που ισοδύναμα γράφεται ως

(p-3q)^2=3(p+q)

, συνεπώς ο αριθμός 3n=3(p+q)=(p-3q)^2

είναι τέλειο τετράγωνο.

β) Τα άπειρα ζεύγη (p,q)=(36k^2+3k,12k^2-3k)

ικανοποιούν την αναγκαία και ικανή συνθήκη (p-3q)^2=3(p+q)

.

#5

Τα θέματα 1 και 3 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

#6

socrates έγραψε: Σάβ Μαρ 25, 2023 2:24 am ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Πηγή:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 023p855649

Η κεντρική ιδέα είναι: $\displaystyle{f(a)=f(b) \implies a=b \ \ \vee \ \ f(a)=f(b)=0}$
Οπότε, αν υπάρχουν $m,n\neq 0$ με f(m)=m

και

τότε $\displaystyle{f(mn + f(m)) = mf(n) + f(m)=m \implies mn+m=m \ \ \vee \ \ m=0,}$ άτοπο.

Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

Μέλη σε σύνδεση