Θέματα της 1ης φάσης για την 10η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023
1. Ο Αλέξης σημείωσε σε μια ευθεία
σημεία έτσι, ώστε η απόσταση μεταξύ οποιονδήποτε δυο εξ αυτών να ισούται με ακέραιο αριθμό εκατοστών. Εξάλλου η απόσταση μεταξύ του πιο αριστερά και του δεύτερου από αριστερά σημείου είναι ίση με 
εκατοστά και η απόσταση μεταξύ του δεύτερου και τρίτου από αριστερά σημείου είναι ίση με 
εκατοστά. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθούν τουλάχιστον 
ζεύγη σημειωμένων σημείων, η απόσταση μεταξύ των οποίων να μην διαιρείται με το 
. 2. Στην πλευρά
τριγώνου 
σημειώθηκε σημείο 
, ώστε 
. Στην προέκταση του τμήματος 
προς το σημείο σημειώθηκε σημείο 
, ώστε 
. Στο τμήμα 
σημειώθηκε σημείο 
, ώστε 
. Να αποδείξετε, ότι η ευθεία 
εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου 
.3. Δύο τριώνυμα δευτέρου βαθμού
και 
με θετικούς μεγιστοβάθμιους συντελεστές έχουν ίσες ελάχιστες τιμές. Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε αριθμούς 
και 
έτσι, ώστε να ικανοποιείται η ισότητα 
.4. Σε ένα δάσος υπάρχουν
ξέφωτα. Κάθε μονοπάτι στο δάσος ενώνει δυο ξέφωτα (δυο ξέφωτα μπορεί να ενώνονται το πολύ με ένα μονοπάτι). Θα ονομάσουμε δυο ξέφωτα γειτονικά, αν ενώνονται με μονοπάτι. Ο λύκος και ο λαγός παίζουν ένα παιχνίδι. Στην αρχή ο λύκος διαλέγει ένα ξέφωτο της επιλογής του, έπειτα διαλέγει ένα ξέφωτο ο λαγός. Ύστερα οι παίκτες κινούνται με την σειρά (ξεκινάει ο λύκος), με κάθε κίνηση ο παίκτης πρέπει να μεταβεί σε ένα από τα γειτονικά ξέφωτα. Ο κάθε παίκτης ξέρει, που βρίσκεται ο αντίπαλος. Ο λύκος πιάνει τον λαγό, αν βρεθεί στο ίδιο ξέφωτο με αυτόν. Προέκυψε, ότι ο λαγός μπορεί να δράσει έτσι, ώστε ο λύκος να μην μπορεί να τον πιάσει. Για ποιο μέγιστο αριθμό μονοπατιών στο δάσος αυτό είναι δυνατόν;5. Τέσσερεις ανά δυο διαφορετικοί μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί
και 
στο άθροισμα δίνουν 
. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του 
.Πηγή