Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#1

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ, και του 2ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ.

Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.

**********************************************
Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Δίνεται το σύστημα

$\displaystyle \begin{cases} \dfrac{1}{x+y}+x=a-1\\[0.3cm] \dfrac{x}{x+y}=a-2\\ \end{cases}$
όπου

είναι μια πραγματική παράμετρος.

(α) Να λυθεί το σύστημα όταν a=0

.
(β) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου

για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση.

ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι

και

τέτοιοι ώστε
$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}+\frac{1}{xy}.$

ΘΕΜΑ 3. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ABCD

τέτοιο ώστε $D\widehat{A}C=D\widehat{B}C$ . Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του, και έστω

και

οι προβολές του

στις πλευρές

και

, αντίστοιχα. Αν

και

είναι τα μέσα των πλευρών

και

, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι $MN\perp PQ$ .

Manolis Petrakis · #2

achilleas έγραψε: Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:56 pm
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι και τέτοιοι ώστε
$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}+\frac{1}{xy}.$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}+\frac{1}{xy}\Leftrightarrow 3x+3y=3+xy$
$\Leftrightarrow x(y-3)=3y-3$
Αν y=3

αδύνατο
Αν $y\neq 3\Leftrightarrow x=\frac{3y-3}{y-3}\Leftrightarrow x=3+\frac{6}{y-3}$
Άρα y-3/6

και $y\in \mathbb{N}^*$
$\Rightarrow$ Πιθανές τιμές y: 1,2,4,5,6,9

• $y=1\Leftrightarrow x=0$ Άτοπο
• $y=2\Leftrightarrow x=-3$ Άτοπο
• $y=4\Leftrightarrow x=9$
• $y=5\Leftrightarrow x=6$
• $y=6\Leftrightarrow x=5$
• $y=9\Leftrightarrow x=4$
Άρα τα ζεύγη λύσεων που έχουμε είναι:
(x,y)=(4,9),(9,4),(5,6),(6,5)

Pantelis.N · #3

achilleas έγραψε: Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:56 pm
ΘΕΜΑ 1. Δίνεται το σύστημα

$\displaystyle \begin{cases} \dfrac{1}{x+y}+x=a-1\\[0.3cm] \dfrac{x}{x+y}=a-2\\ \end{cases}$
όπου είναι μια πραγματική παράμετρος.

(α) Να λυθεί το σύστημα όταν .
(β) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση.

Μία προσπάθεια, δεν ξέρω αν η λύση μου είναι σωστή.

Καταρχάς είναι $x\neq -y$

Για το (α) :

Αν x=0

Προκύπτει $\frac{0}{y}= -2$ , άτοπο.

Για $x\neq 0$ πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με

και προκύπτει $\frac{x}{x+y}+x^2=-x$

Αφαιρώντας από την δεύτερη λαμβάνουμε x^2+x-2=0

με ρίζες

Τα ζεύγη λύσεων που παίρνουμε έπειτα από πράξεις είναι $(x,y)=(1,-\frac{3}{2})$ και (x,y)=(-2,3)

Για το (β):

Αν x=0

προκύπτει

και

(αντίστροφα αν a=2

μοναδική λύση (x,y)=(0,1)

)

Για $x\neq 0$ πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με

και αφαιρώντας από την δεύτερη προκύπτει x^2+x(1-a)+a-2=0

(1)

Επειδή ο

είναι δευτεροβάθμιος όρος και οι υπόλοιποι πρωτοβάθμιοι, αν ο

λαμβάνει μία μόνο τιμή, τότε θα λαμβάνει και ο

μία μόνο τιμή.

Συνεπώς αρκεί η δευτεροβάθμια εξίσωση (1) να έχει διπλή ρίζα.

Άρα $\Delta =0\Leftrightarrow (1-a)^2-4(a-2)=0\Leftrightarrow (a-3)^2=0$ άρα a=3

και προκύπτει y=0

και

Αρα

ή

#4

achilleas έγραψε: Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:56 pm ΘΕΜΑ 3. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο τέτοιο ώστε $D\widehat{A}C=D\widehat{B}C$ . Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του, και έστω και οι προβολές του στις πλευρές και , αντίστοιχα. Αν και είναι τα μέσα των πλευρών και , αντίστοιχα, να δειχθεί ότι $MN\perp PQ$ .

Ωραίο πρόβλημα!
Γιατί να μένει αναπάντητο;

KARKAR · #5

: Αναπάντητη 2020.png (47.83 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

Το τετράπλευρο ABCD

, είναι προφανώς εγγράψιμο , οπότε αν : L ,K

τα μέσα των OA , OB

αντίστοιχα ,

τότε τα τρίγωνα PLM , QKM

είναι ίσα , άρα : MP=MQ

και ομοίως : NP=NQ

, δηλαδή

η

είναι μεσοκάθετη του

. Πράγματι : $PL=KM=\dfrac{OA}{2}$ ( διάμεσος στην υποτείνουσα και τμήμα

που συνδέει μέσα πλευρών τριγώνου ) , ομοίως : $ML=QK=\dfrac{OB}{2}$ και επειδή το OLMK

είναι παρ/μο ,

ενώ οι κόκκινες γωνίες είναι διπλάσιες από τις ίσες πράσινες , είναι ακόμα : $\widehat{PLM}=\widehat{QKM}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

socrates έγραψε: Πέμ Ιαν 02, 2025 12:19 pm
achilleas έγραψε: Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:56 pm ΘΕΜΑ 3. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο τέτοιο ώστε $D\widehat{A}C=D\widehat{B}C$ . Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του, και έστω και οι προβολές του στις πλευρές και , αντίστοιχα. Αν και είναι τα μέσα των πλευρών και , αντίστοιχα, να δειχθεί ότι $MN\perp PQ$ .
Ωραίο πρόβλημα!
Γιατί να μένει αναπάντητο;

Ας είναι

τα συμμετρικά των A,B

ως προς τα P,Q

αντίστοιχα.Τότε $PM=//\dfrac{BS}{2}$ και $MQ=// \dfrac{AT}{2}$

Θα αποδείξουμε ότι BS=AT

Λόγω εγγραψιμμότητας του ABCD

τα ισοσκελή τρίγωνα AOS,BOT

έχουν τις προσκείμενες

στις βάσεις τους πράσινες γωνίες ίσες,συνεπώς

$\angle AOS= \angle BOT \Rightarrow \angle AOS+SOT= \angle BOT+SOT \Rightarrow \angle AOT= \angle BOS$

Επιπλέον είναι AO=OS

και

,άρα $\triangle AOT= \triangle BOS \Rightarrow BS=AT$

Θεωρούμε τώρα CK//PN

και

οπότε $DP=PK \Rightarrow OK=OD$ και $CQ=QL \Rightarrow OL=OC$

Επιπλέον τα ισοσκελή τρίγωνα KOD,OCL

έχουν ίσες τις ροζ γωνίες προσκείμενες στις βάσεις τους.Επομένως

$\angle KOD= \angle COL \Rightarrow \angle KOD+ DOC= \angle COL+DOC \Rightarrow \angle KOC= \angle DOL$

Έτσι $\triangle KOC= \triangle DOL \Rightarrow KC=DL \Rightarrow PN= \dfrac{KC}{2}= \dfrac{DL}{2} =QN$ συνεπώς

μεσοκάθετος της

: Τέστ εξάσκησης 3.png (102.4 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Μέλη σε σύνδεση