Συναρτησιακές ιδιοκατασκευές!

Dimessi · #1

1. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty),

τέτοιες ώστε

f(xy+f(x))=yf(x)+x

για κάθε

.
2. Nα βρείτε όλες τις συναρτήσεις

f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},

τέτοιες ώστε

f(y+f(x))=f(x^4-y)+8yf(x)(f^2(x)+y^2)

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

#2

Dimessi έγραψε: Παρ Νοέμ 06, 2026 8:40 pm 1. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty),$ τέτοιες ώστε $f(xy+f(x))=yf(x)+x$ για κάθε .

.
Kάνω το 1.

Για δοθέν (σταθερό) x>0

παίρνουμε οποιοδήποτε από τα άπειρα πραγματικά

με

z>f(1)

και

z> f(x)

. Ορίζουμε

y=\dfrac {z-f(x)}{x} >0

, οπότε

f(z)=f \left ( x\cdot \dfrac {z-f(x)}{x} +f(x) \right ) =f \left ( xy +f(x) \right ) = yf(x)+x= \dfrac {z-f(x)}{x} \cdot f(x) + x= \dfrac {f(x)}{x}z- \dfrac {f^2(x)}{x} +x

(*)

Ειδικά για x=1

η (*) δίνει

f(z) = f(1)z- f^2(1)+1

(**)

Τα αριστερά μέλη των (*), (**) είναι ίδια, οπότε για άπειρα

ισχύει

\dfrac {f(x)}{x}z- \dfrac {f^2(x)}{x} +x= f(1)z- f^2(1)+1

. Έπεται (εδώ είναι το κλειδί) ότι οι συντελεστές της μεταβλητής

είναι ίσοι. Εδώ

\dfrac {f(x)}{x}= f(1)

και

- \dfrac {f^2(x)}{x} +x= - f^2(1)+1

.

H πρώτη δίνει f(x)=f(1)x

(***), που σε αντικατάσταση στην δεύτερη δίνει

- f^2(1)x+x= - f^2(1)+1

, ισοδύναμα

(1-x)f^2(1) = 1-x

. Οπότε εφαρμόζοντας αυτό για οποιοδήποτε $x\ne 1$ συμπεραίνουμε ότι f(1)=1

, οπότε η (***) δίνει

$\boxed {f(x)=x}$ (μοναδική λύση).

Ωραία άσκηση.

Dimessi · #3

Σας ευχαριστώ για τη λύση και βάζω και τη δική μου για το 1.

Ονομάζουμε P(x,y)

την δοθείσα και από την P(x,1)

είναι

f(x+f(x))=x+f(x) \quad (1)

για κάθε

ενώ από την

P\left(x, \dfrac{y}{x}\right)

είναι

f\left( y+f\left( x \right) \right)=\dfrac{y}{x}f\left( x \right)+x \overset{y\rightarrow x+1}\Longrightarrow f\left( x+1+f\left( x \right) \right)=\dfrac{x+1}{x}f\left( x \right)+x \quad \forall x>0 \quad (2)

και

f\left( 1+f\left( x \right) \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}+x \overset{x\rightarrow x+f\left( x \right)}\Longrightarrow f\left( 1+f\left( x+f\left( x \right) \right) \right)=\dfrac{f\left( x+f\left( x \right) \right)}{x+f\left( x \right)}+x+f\left( x \right)\overset{\left( 1 \right)}\Longleftrightarrow

\Longleftrightarrow f\left( 1+x+f\left( x \right) \right)=1+x+f\left( x \right)\overset{\left( 2 \right)}\Longleftrightarrow \dfrac{x+1}{x}f\left( x \right)+x=1+x+f\left( x \right)\Longleftrightarrow \boxed{f(x)=x \quad \forall x>0}

.

#4

Dimessi έγραψε: Παρ Νοέμ 06, 2026 8:40 pm 2. Nα βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},$ τέτοιες ώστε $f(y+f(x))=f(x^4-y)+8yf(x)(f^2(x)+y^2)$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Για την 2.

΄Έχουμε τις περιπτώσεις (λύση σε λίγο)
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Συναρτησιακές ιδιοκατασκευές!

Συναρτησιακές ιδιοκατασκευές!

Re: Συναρτησιακές ιδιοκατασκευές!

Re: Συναρτησιακές ιδιοκατασκευές!

Re: Συναρτησιακές ιδιοκατασκευές!

Μέλη σε σύνδεση