ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

1. Αν οι πραγματικοί αριθμοί x , y

ικανοποιούν τη σχέση x^2 -4x+y^2 +10y +20=0

, να αποδείξετε ότι x>y

2. Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία A , B , C

του επιπέδου, όπου το

βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου με διάμετρο

. Ευθεία

που διέρχεται από το

στρέφεται ώστε να μη διέρχεται από σημείο εσωτερικό του τμήματος

. Αν

οι προβολές των A , B

επί της

, να βρεθεί η θέση της (e)

, για την οποία το άθροισμα
(AA{'})+(BB{'})

, γίνεται μέγιστο.

3. Να δείξετε ότι η εξίσωση $x^2 -4x -19^{96} -1992=0$ , δεν έχει ακέραια λύση.

4. Έστω a , b , c , d

, τέσσερις ακέραιοι στην διάταξη:

a b

Στη διάταξη αυτή κάνουμε την εξής κίνηση: Είτε προσθέτουμε έναν ακέραιο (θετικό ή αρνητικό) σε κάθε στοιχείο μιας γρα μμής , είτε προσθέτουμε έναν ακέραιο (θετικό ή αρνητικό) σε κάθε στοιχείο μιας στήλης. Δείξτε ότι από την αρχική διάταξη μπορούμε να καταλήξουμε στην:

0 0

(όλα τα στοιχεία 0), αν και μόνο αν ισχύει a+d=b+c

.

#2

: Μέγιστο αθροίσματος.PNG (7.71 KiB) Προβλήθηκε 2012 φορές

Για το δεύτερο θέμα της Γεωμετρίας:

Έστω μια τυχαία θέσης της ευθείας $\displaystyle{(e)}$ που διέρχεται από το σταθερό σημείο $\displaystyle{C}$
το οποίο βρίσκεται εκτός του κύκλου διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ .

Από το κέντρο του κύκλου $\displaystyle{O}$ φέρουμε την κάθετη $\displaystyle{OM}$ προς την $\displaystyle{(e)}$ .
Τότε από το ορθογώνιο τραπέζιο $\displaystyle{ABB'C'}$ θα είναι:

$\displaystyle{AA'+BB'=2(OM) \leq 2(OC)=ct}$

Από την τελευταία σχέση φαίνεται ότι η μέγιστη τιμή του αθροίσματος αυτού είναι τιμή $\displaystyle{2(OC)}$

και τη λαμβάνει όταν $\displaystyle{OM=OC}$ δηλαδή η ευθεία $\displaystyle{(e)}$ γίνει κάθετη στο σταθερό τμήμα $\displaystyle{OC}$ .

Κώστας Δόρτσιος

#3

Η δοθείσα γράφεται:

$\displaystyle{(x-2)^2+(y+5)^2=3^2}$

Άρα:

$\displaystyle{\left| {x-2}\right |\leq 3}$ και $\displaystyle{\left|{y+5}\right| \leq3}$

ή ακόμα:

$(\displaystyle{-3\leq x-2 \leq 3})$ και $(\displaystyle{-3 \leq y+5 \leq 3})$

και τελικά:

$(\displaystyle{-1\leq x \leq 5})$ και $(\displaystyle{-8 \leq y \leq -2})$

άρα οι αριθμοί $\displaystyle{x, y}$ αν τοποθετηθούν στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουν την ακόλουθη διάταξη:

: Διάταξη.PNG (2.76 KiB) Προβλήθηκε 1938 φορές

Άρα για τους αριθμούς αυτούς ισχύει: $\displaystyle{x>y}$

Κώστας Δόρτσιος

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
3. Να δείξετε ότι η εξίσωση $x^2 -4x -19^{96} -1992=0$ , δεν έχει ακέραια λύση.

Η εξίσωση γράφεται ως

$\displaystyle{(x-2)^2=19^{96}+1996}$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{19^{96}+1996}$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Πράγματι, ο αριθμός $\displaystyle{19^{96}}$ λήγει σε $\displaystyle{1,}$ άρα ο $\displaystyle{19^{96}+1996}$ λήγει σε $\displaystyle{7}$ και φυσικά, κανένα τέλειο τετράγωνο δε λήγει σε $\displaystyle{7.}$

#5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:4. Έστω , τέσσερις ακέραιοι στην διάταξη:

Στη διάταξη αυτή κάνουμε την εξής κίνηση: Είτε προσθέτουμε έναν ακέραιο (θετικό ή αρνητικό) σε κάθε στοιχείο μιας γρα μμής , είτε προσθέτουμε έναν ακέραιο (θετικό ή αρνητικό) σε κάθε στοιχείο μιας στήλης. Δείξτε ότι από την αρχική διάταξη μπορούμε να καταλήξουμε στην:

(όλα τα στοιχεία 0), αν και μόνο αν ισχύει .

Γράφω μια ιδέα για την άσκηση αυτή:

Προσθέτοντας στην πρώτη γραμμή τον ακέραιο

και στην δεύτερη γραμμή τον ακέραιο

, έχω:

***Στην πρώτη γραμμή: $\displaystyle{a+x}$ , $\displaystyle{b+x}$

***Στην δεύτερη γραμμή: $\displaystyle{c+y}$ , $\displaystyle{d+y}$

Τώρα προσθέτοντας π.χ στην πρώτη στήλη τον ακέραιο

, έχουμε:

*** Στην πρώτη γραμμή : $\displaystyle{a+x+w}$ , $\displaystyle{b+x}$

***Στην δεύτερη γραμμή: $\displaystyle{c+y+w}$ , $\displaystyle{d+y}$

Με βάση το πρόβλημα, θα πρέπει:

$\displaystyle{a+x+w=0}$ ......... $\rightarrow$ ΣΧΕΣΗ 1.

$\displaystyle{c+y+w=0}$

$\displaystyle{b+x=0}$

$\displaystyle{d+y=0}$

Από τις τρεις τελευταίες αυτές σχέσεις, έχω:

$\displaystyle{y=-d}$ , $\displaystyle{x=-b}$ , $\displaystyle{w=-c-y\Rightarrow w=-c+d}$

Tότε η ΣΧΕΣΗ 1 γράφεται: $\displaystyle{a-b-c+d=0\Leftrightarrow a+d=b+c}$ .

#6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: 4. Έστω , τέσσερις ακέραιοι στην διάταξη:

Στη διάταξη αυτή κάνουμε την εξής κίνηση: Είτε προσθέτουμε έναν ακέραιο (θετικό ή αρνητικό) σε κάθε στοιχείο μιας γρα μμής , είτε προσθέτουμε έναν ακέραιο (θετικό ή αρνητικό) σε κάθε στοιχείο μιας στήλης. Δείξτε ότι από την αρχική διάταξη μπορούμε να καταλήξουμε στην:

Αν

τότε προσθέτουμε στην πρώτη γραμμή το

, στην δεύτερη γραμμή το

και στην δεύτερη στήλη το a-b=c-d

και καταλήγουμε στην ζητούμενη διάταξη.

Για το αντίστροφο: Για τον πίνακα $X = \begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ ορίζουμε f(A) = x+w-y-z

. Το ζητούμενο είναι να καταλήξουμε από τον $Α = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ στον $B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Παρατηρούμε όμως ότι μετά από κάθε επιτρεπόμενη κίνηση η

παραμένει σταθερή. Αν λοιπόν μπορούμε να κάνουμε τέτοιες κινήση τελικά θα έχουμε a+d-b-c = f(A) = f(B) = 0

όπως θέλαμε να δείξουμε.

parmenides51 · #7

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Αν οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τη σχέση , να αποδείξετε ότι

παρόμοια με διαφορετικές λύσεις εδώ

parmenides51 · #8

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:3. Να δείξετε ότι η εξίσωση $x^2 -4x -19^{96} -1992=0$ , δεν έχει ακέραια λύση.

Υπάρχει μια εκκρεμότητα στην εξίσωση στο 3ο θέμα, γιατί σε όσες πηγές το πέτυχα (ΕΜΕ Πατρας, Τζέτζιας) είχε την παρακάτω εξίσωση

$\displaystyle{x^2 -4x -19^{96}-96^{19} -2000=0}$

Αν μπορεί ας το ελέγξει κάποιος

#9

parmenides51 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:3. Να δείξετε ότι η εξίσωση $x^2 -4x -19^{96} -1992=0$ , δεν έχει ακέραια λύση.
Υπάρχει μια εκκρεμότητα στην εξίσωση στο 3ο θέμα, γιατί σε όσες πηγές το πέτυχα (ΕΜΕ Πατρας, Τζέτζιας) είχε την παρακάτω εξίσωση

$\displaystyle{x^2 -4x -19^{96}-96^{19} -2000=0}$

Αν μπορεί ας το ελέγξει κάποιος

Το ορθό είναι αυτό που γράφει ο Δημήτρης παραπάνω με το 1992! Έχω το πρωτότυπο των θεμάτων (είχα πάρει μέρος ως μαθητής στη συγκεκριμένη τάξη). Τα θέματα αρχικά έλεγαν 2000 όμως το διέγραψαν και το αντικατέστησαν με 1992. Όταν πήραμε τα θέματα είχαν ήδη το 1992 πάνω.

Αλέξανδρος

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση