ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

#1

1.Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακεραίου $\nu$ για τις οποίες ο αριθμός $A = \nu^3-\nu^2+\nu-1$ είναι πρώτος.

2. Να προσδιορίσετε τετραψήφιο αριθμό $\overline{xyzw}$ , ο οποίος έχει την ιδιότητα : Αν του προσθέσουμε το άθροισμα των ψηφίων του, προκύπτει ο αριθμός 2003.

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (AB=A\Gamma).$ Το ύψος του

και η μεσοκάθετος $\epsilon$ της πλευράς

τέμνονται στο σημείο

Η κάθετη προς την ευθεία $\epsilon$ στο σημείο

τέμνει την $B\Gamma$ στο σημείο $\Delta$ .
Αν ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $BM\Delta$ τέμνει την ευθεία $\epsilon$ στο σημείο $\Sigma$ , να αποδείξετε ότι:
α) $B\Sigma \parallel AM.$
β) το τετράπλευρο $AMB\Sigma$ είναι ρόμβος.

4. Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους οι οποίοι μπορούν να παρασταθούν ως κλάσματα της μορφής $\displaystyle{\frac{\mu \nu+1}{\mu+\nu}}$ , όπου $\mu$ και $\nu$ είναι θετικοί ακέραιοι.

parmenides51 · #2

socrates έγραψε:1.Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακεραίου $\nu$ για τις οποίες ο αριθμός $A = \nu^3-\nu^2+\nu-1$ είναι πρώτος.

εδώ

pito · #3

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (AB=A\Gamma).$ Το ύψος του

και η μεσοκάθετος $\epsilon$ της πλευράς

τέμνονται στο σημείο

Η κάθετη προς την ευθεία $\epsilon$ στο σημείο

τέμνει την $B\Gamma$ στο σημείο $\Delta$ .
Αν ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $BM\Delta$ τέμνει την ευθεία $\epsilon$ στο σημείο $\Sigma$ , να αποδείξετε ότι:
α) $B\Sigma \parallel AM.$
β) το τετράπλευρο $AMB\Sigma$ είναι ρόμβος.

Α Η $M\Delta$ είναι κάθετη στη $\Sigma M$ , άρα η $\Sigma \Delta$ διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
$B\Delta M$ , άρα και η $B\Sigma$ κάθετη στη $B\Delta$ . Όμως η

κάθετη στη $B\Gamma$ .
Έτσι οι $AM,B\Sigma$ είναι παράλληλες ως κάθετες στη $B\Gamma$ .

Β) Η $\Sigma M$ μεσοκάθετος της

άρα $AM=MB(1), \Sigma A=\Sigma B (2)$
Έτσι $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ αλλά και $\widehat{MAB}=\widehat{\Sigma BA}$ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων
$AM,\Sigma B$ με τέμνουσα την

.
΄Ετσι $\widehat{\Sigma BA}=\widehat{ABM}$ , δηλαδή η

είναι διχοτόμος και ύψος του τριγώνου $\Sigma BM$
.Συνεπώς αυτό θα είναι ισοσκελές με $B\Sigma =\Sigma M$ .

Τελικά ( και λόγω και των (1),(2)) είναι $B\Sigma =\Sigma A=AM=BM$ και το τετράπλευρο $AMB\Sigma$ είναι ρόμβος.

gavrilos · #4

socrates έγραψε:2. Να προσδιορίσετε τετραψήφιο αριθμό $\overline{xyzw}$ , ο οποίος έχει την ιδιότητα : Αν του προσθέσουμε το άθροισμα των ψηφίων του, προκύπτει ο αριθμός

Κατ' αρχάς ο $\displaystyle{x}$ δεν μπορεί να είναι $\displaystyle{2}$ γιατί τότε οι μόνες πιθανές τιμές του αριθμού θα ήταν $\displaystyle{2000 , 2001 , 2002}$ οι οποίοι δεν ανταποκρίνονται στις προυποθέσεις της εκφώνησης , άρα $\displaystyle{x=1}$ .Επίσης , σύμφωνα με αυτό το στοιχείο καταλαβαίνουμε πως το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού δεν μπορεί να είναι πάνω από $\displaystyle{1+9+9+9=28}$ άρα ξέρουμε και πως το $\displaystyle{y}$ είναι ίσο με $\displaystyle{9}$ και το $\displaystyle{z}$ παίρνει μία από τις τιμές $\displaystyle{7,8,9}$ .Σύμφωνα με αυτά τα στοιχεία ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει από την εκφώνηση.

$\displaystyle{1000x+100y+10z+\omega+x+y+z+\omega=2003}\\ {1001x+101y+11z+2\omega=2003}\\ {1001+909+11z+2\omega=2003}\\ {11z+2\omega=2003-1001-909}\\ {11z+2\omega=93}$

Σύμφωνα με αυτό το $\displaystyle{z}$ πρέπει να είναι περιττός αφού το αποτέλεσμα είναι περιττός και ο όρος $\displaystyle{2\omega}$ είναι άρτιος . Έτσι απορρίπτουμε για τον $\displaystyle{z}$ την τιμή $\displaystyle{8}$ .Ακόμη απορρίπτουμε την τιμή $\displaystyle{9}$ επειδή $\displaystyle{11 \cdot 9 = 99}$ και το αποτέλεσμα της εξίσωσης όπως γνωρίζουμε είναι $\displaystyle{93}$ και ο $\displaystyle{\omega}$ ως ψηφίο δεν γίνεται να είναι αρνητικός .Άρα $\displaystyle{z=7}$ και αντικαθιστώντας στην εξίσωση βρίσκουμε πως

$\displaystyle {11\cdot7+2\omega=93}\\ {2\omega=16}\\ {\omega=8}$ .

Άρα ο αριθμός είναι $\displaystyle{1978}$ .

#5

socrates έγραψε:4. Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους οι οποίοι μπορούν να παρασταθούν ως κλάσματα της μορφής $\displaystyle{\frac{\mu \nu+1}{\mu+\nu}}$ , όπου $\mu$ και $\nu$ είναι θετικοί ακέραιοι.

Θα δείξω ότι όλοι οι θετικοί ακέραιοι μπορούν να παρασταθούν ως κλάσματα της δοσμένης μορφής, για κατάλληλους θετικούς ακεραίους $\displaystyle{\mu , \nu}$
Πράγματι, έστω $\displaystyle{k}$ τυχαίος θετικός ακέραιος. Ζητάω να βρω θετικούς ακεραίους $\displaystyle{\mu , \nu}$ , τέτοιους ώστε να είναι:

$\displaystyle{\frac{\mu \nu+1}{\mu +\nu}\Leftrightarrow \mu (\nu -k)=k\nu -1}$

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{\nu =k}$ . Τότε $\displaystyle{0=k^2 -1 \Leftrightarrow k=1}$ , οπότε και $\displaystyle{\nu =1}$

Δηλαδή ο θετικός ακέραιος $\displaystyle{1}$ , γράφεται $\displaystyle{\frac{\mu .1 +1}{\mu +1}}$ , δηλαδή στην μορφή που θέλουμε.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : $\displaystyle{\nu \neq k}$ . Τότε έχουμε $\displaystyle{\mu =\frac{k\nu -1}{\nu -k}=\frac{k\nu -k^2 +k^2 -1}{\nu -k}=}$

$\displaystyle{=\frac{k(\nu -k)+k^2 -1}{\nu -k}=k+\frac{k^2 -1}{\nu -k}}$

Αν λοιπόν επιλέξουμε να πάρουμε $\displaystyle{\nu=k+1}$ , τότε βρίσκουμε: $\displaystyle{\mu =k+k^2 -1=k^2 +k-1}$ ,(όπου προφανώς για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$ είναι $\displaystyle{\nu , \mu}$ θετικοί ακέραιοι.)

Άρα και σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε ότι $\displaystyle{k=\frac{(k^2 +k -1)(k+1)+1}{(k^2 +k-1)+(k+1)}}$ , δηλαδή:

$\displaystyle{k=\frac{\mu \nu +1}{\mu +\nu}}$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Νίκος Αϊνστάιν · #6

socrates έγραψε:4. Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους οι οποίοι μπορούν να παρασταθούν ως κλάσματα της μορφής $\displaystyle{\frac{\mu \nu+1}{\mu+\nu}}$ , όπου $\mu$ και $\nu$ είναι θετικοί ακέραιοι.

Έχω μια απορία για αυτήν την άσκηση. Ισχύει ο ακόλουθος ισχυρισμός:
Νομίζω ότι όλοι οι αριθμοί μπορούν να πάρουν αυτήν την μορφή, με εξαίρεση όταν $\mu + \nu \neq 0 \Leftrightarrow \mu \neq \nu$
Αφού οι αριθμοί πρέπει να είναι θετικοί, ο περιορισμός δεν πιάνεται για κανέναν αριθμό. Άρα, όλοι οι αριθμοί είναι αποδεκτοί.

Αρχιμήδης 6 · #7

Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
socrates έγραψε:4. Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους οι οποίοι μπορούν να παρασταθούν ως κλάσματα της μορφής $\displaystyle{\frac{\mu \nu+1}{\mu+\nu}}$ , όπου $\mu$ και $\nu$ είναι θετικοί ακέραιοι.
Έχω μια απορία για αυτήν την άσκηση. Ισχύει ο ακόλουθος ισχυρισμός:
Νομίζω ότι όλοι οι αριθμοί μπορούν να πάρουν αυτήν την μορφή, με εξαίρεση όταν $\mu + \nu \neq 0 \Leftrightarrow \mu \neq \nu$
Αφού οι αριθμοί πρέπει να είναι θετικοί, ο περιορισμός δεν πιάνεται για κανέναν αριθμό. Άρα, όλοι οι αριθμοί είναι αποδεκτοί.

Σωστός

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2002 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Μέλη σε σύνδεση