Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (6η τάξη)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1261
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (6η τάξη)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Φεβ 12, 2020 12:04 am

LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXXI Μαθηματική Γιορτή, θέματα 6ης τάξης.



Πρόβλημα 1. Η Ελένη φωτογράφησε τέσσερεις γάτους που έτρωγαν λουκάνικα (πάνω σχήμα). Αργότερα έκανε άλλη μια λήψη (κάτω σχήμα). Ο κάθε γάτος τρώει τα λουκάνικά του ασταμάτητα και με σταθερή ταχύτητα, χωρίς να τρώει των άλλων. Ποιος γάτος θα τα φάει πρώτος και ποιος τελευταίος; Εξηγήστε την απάντηση. [5 μόρια]
mmo_2020_class6_pr1.png
mmo_2020_class6_pr1.png (155.08 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Πρόβλημα 2. Σε τετραγωνισμένο τετράδιο ήταν σχεδιασμένος ένας λαβύρινθος: τετράγωνο 5 \times 5 (τα εξωτερικά τοιχώματα) με έξοδο πλάτους ενός τετραγώνου καθώς και εσωτερικά τοιχώματα κατά μήκους των γραμμών του πλέγματος. Στο σχήμα κρύψαμε από σας όλα τα εσωτερικά τοιχώματα. Σχεδιάστε το πως αυτά θα μπορούσαν να υπήρχαν, γνωρίζοντας, ότι οι αριθμοί, που βρίσκονται στα κελιά, δεικνύουν τον ελάχιστο αριθμό βημάτων που θα χρειάζονται για να εξέλθουμε από τον λαβύρινθο, ξεκινώντας από αυτό το κελί (το βήμα γίνεται σε διπλανό κατά πλευρά κελί, αν δεν διαχωρίζεται με τοίχωμα). Αρκεί ένα παράδειγμα, δεν ζητείται εξήγηση. [5 μόρια]
mmo_2020_class6_pr2.png
mmo_2020_class6_pr2.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Πρόβλημα 3. Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 2,3,4, \dots , 29,30. Με ένα ευρώ μπορούμε να σημειώσουμε οποιοδήποτε αριθμό. Αν κάποιος αριθμός είναι ήδη σημειωμένος, μπορούμε δωρεάν να σημειώσουμε τους διαιρέτες του καθώς και τους αριθμούς που διαιρούνται με αυτόν. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ευρώ που χρειαζόμαστε για να σημειώσουμε όλους τους αριθμούς; [6 μόρια]


Πρόβλημα 4. Ο Μιχάλης σχημάτισε με κύβους ένα κύβο 3 \times 3 \times 3. Ύστερα μερικούς γειτονικούς κατά έδρα κύβους τους κόλλησε μεταξύ τους. Προέκυψε μια μονοκόμματη κατασκευή των 16 κύβων, τους υπόλοιπους κύβους ο Μιχάλης τους αφαίρεσε. Βουτώντας την κατασκευή στο μελάνι, εν συνεχεία την ακούμπησε σε ένα χαρτί κατά τρεις έδρες. Τυπώθηκε η συλλαβή ΚΟΤ, βλέπε σχήμα. (σημ. μετ. στα ρωσικά σημαίνει γάτος). Τι θα προκύψει αν τυπωθεί η έδρα, που βρίσκεται απέναντι από το γράμμα «Ο»; [8 μόρια]
mmo_2020_class6_pr4.png
mmo_2020_class6_pr4.png (6.63 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Πρόβλημα 5. Στο δάσος ζουν 40 άγρια ζώα. Αλεπούδες, λύκοι, λαγοί και κάστορες. Κάθε χρόνο οργανώνουν πάρτι μασκέ: το καθένα φοράει μάσκα ζώου διαφορετικού είδους, εξάλλου δυο συνεχόμενα χρόνια δεν φοράνε την ίδια μάσκα. Δυο χρόνια πριν στο πάρτι υπήρχαν 12 «αλεπούδες» και 28 «λύκοι», πέρσι - 15 «λαγοί», 10 «αλεπούδες» και 15 «κάστορες», φέτος 15 «λαγοί» και 25 «αλεπούδες». Ποιο είδος στο δάσος είναι το πιο πολυάριθμο; [8 μόρια]


Πρόβλημα 6. Ο Νίκος κατασκευάζει κωδικό για το κινητό του, αριθμό από μη επαναλαμβανόμενα ψηφία χωρίς μηδενικά. Ο κωδικός δουλεύει ως εξής: αν χωρίς να χάσει το δάχτυλο μας την επαφή από την οθόνη, διαδοχικά ενώσουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα σημεία, που αντιστοιχούν στα ψηφία του κωδικού, τότε το κινητό ξεκλειδώνει. Εξάλλου το κινητό δεν επιτρέπει να ενωθούν με ευθύγραμμο τμήμα δυο σημεία, μεταξύ των οποίων υπάρχει τρίτο. Αν ο Νίκος ενώσει, για παράδειγμα, το 1 με το 3, τότε το κινητό «καταλαβαίνει» ότι ο Νίκος έχει βάλλει 1-2-3.

Ο Νίκος θέλει, κατά την διάρκεια εισαγωγής του κωδικού η γραμμή της κίνησης του δάχτυλου να μην τέμνει τον εαυτό της. Επιπλέον καμία αναδιάταξη των ψηφίων του κωδικού, εκτός της αντίστροφης, να μην μπορεί να δίνει διαφορετική τέτοια γραμμή. Για παράδειγμα, ο κωδικός 1263 δεν αρέσει στον Νίκο, καθόσον η γραμμή 6-3-2-1 είναι διαφορετική και επίσης και αυτή δεν τέμνει τον εαυτό της.

Ο Νίκος σκέφτηκε τον κωδικό 723 (βλέπε σχήμα). Αυτά τα τρία ψηφία 2,3 και 7 πράγματι με καμία άλλη γραμμή δεν μπορούν να συνδεθούν. Όμως κρίμα που ο κωδικός είναι τόσο κοντός.

Βοηθήστε τον Νίκο να σχηματίσει μακρύτερο κωδικό. Στην απάντηση γράψτε των κωδικό και σχεδιάστε εκείνη την μοναδική γραμμή, που μπορεί να προκύψει από αυτά τα ψηφία. [8 μόρια]
mmo_2020_class6_pr6.png
mmo_2020_class6_pr6.png (10.2 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8549
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (6η τάξη)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Φεβ 20, 2020 4:19 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Φεβ 12, 2020 12:04 am
LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXXI Μαθηματική Γιορτή, θέματα 6ης τάξης.



Πρόβλημα 5. Στο δάσος ζουν 40 άγρια ζώα. Αλεπούδες, λύκοι, λαγοί και κάστορες. Κάθε χρόνο οργανώνουν πάρτι μασκέ: το καθένα φοράει μάσκα ζώου διαφορετικού είδους, εξάλλου δυο συνεχόμενα χρόνια δεν φοράνε την ίδια μάσκα. Δυο χρόνια πριν στο πάρτι υπήρχαν 12 «αλεπούδες» και 28 «λύκοι», πέρσι - 15 «λαγοί», 10 «αλεπούδες» και 15 «κάστορες», φέτος 15 «λαγοί» και 25 «αλεπούδες». Ποιο είδος στο δάσος είναι το πιο πολυάριθμο; [8 μόρια]
Πολύ όμορφα προβληματάκια. Ας το δούμε αυτό.

Φέτος και πέρσι 25+10 = 35 ζώα ντύθηκαν αλεπού. Όλα αυτά είναι διαφορετικά μεταξύ τους και δεν είναι αλεπούδες. Άρα έχουμε το πολύ 5 αλεπούδες. Για τον ίδιο λόγο έχουμε το πολύ 40 - (15+15) = 10 λαγούς και το πολύ 40-28 = 12 λύκους. Άρα έχουμε τουλάχιστον 40-(5+10+12) = 13 κάστορες. Σίγουρα λοιπόν το πιο πολυάριθμο ζώο είναι οι κάστορες.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1424
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (6η τάξη)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Πέμ Φεβ 20, 2020 11:06 pm

Μία απάντηση στο πρόβλημα 2 για τον αριθμό των βημάτων εξόδου είναι αυτή.
Συνημμένα
βήματα.pdf
(191.27 KiB) Μεταφορτώθηκε 12 φορές


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1261
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (6η τάξη)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Φεβ 20, 2020 11:57 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Πέμ Φεβ 20, 2020 11:06 pm
Μία απάντηση στο πρόβλημα 2 για τον αριθμό των βημάτων εξόδου είναι αυτή.
Καλησπέρα κ.Ανδρέα,

Το παράδειγμα αυτό δεν μπορεί να είναι σωστό. Καθόσον για παράδειγμα κάποιο γειτονικό κελί, με το κελί με τον ελάχιστο αριθμό βημάτων 3, θα πρέπει να έχει αριθμό ελάχιστο βημάτων \pm 1 από αυτό. Όμως στο παράδειγμα δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο. Εκτός αν κατάλανα λάθος τι σημαίνουν οι αριθμοί στον πίνακα.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} 
\hline 
\text{\gr} 25 & 20  & 21  & 2  & 1  \\ \hline 
 12  & 19 & 4 & 23 & 10\\ \hline 
 17 & 18  & 13 & 8 & 3   \\ \hline 
 24 & 11 &  14 & 15 & 22   \\ \hline 
  9  & 16 &  7  &  6 & 5  \\ \hline 
\end{tabular}


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1424
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (6η τάξη)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Φεβ 21, 2020 12:10 am

Αγαπητέ Αλέξανδρε,
απάντησα σύμφωνα με όσα κατάλαβα τι ζητά το πρόβλημα.
Θεώρησα ότι πρέπει να τοποθετήσουμε τους αριθμούς από το 1 έως το 25 σε τέτοιες θέσεις, ώστε ο αριθμός βημάτων έως την "έξοδο" να είναι αυτός που φαίνεται στο αντίστοιχο κελί. Για παράδειγμα, δεν μπορούσα να εξηγήσω αλλιώς τον αριθμό 10 και τους άλους που είναι δεδομένοι στον πίνακα.
Η "ελάχιστη απόσταση" νομίζω ότι δεν η σωστή έκφραση. Αν είναι εύκολο, στείλε το πρόβλημα στο αρχικό του κείμενο.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1261
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (6η τάξη)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Φεβ 21, 2020 12:29 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Παρ Φεβ 21, 2020 12:10 am
Αγαπητέ Αλέξανδρε,
απάντησα σύμφωνα με όσα κατάλαβα τι ζητά το πρόβλημα.
Θεώρησα ότι πρέπει να τοποθετήσουμε τους αριθμούς από το 1 έως το 25 σε τέτοιες θέσεις, ώστε ο αριθμός βημάτων έως την "έξοδο" να είναι αυτός που φαίνεται στο αντίστοιχο κελί. Για παράδειγμα, δεν μπορούσα να εξηγήσω αλλιώς τον αριθμό 10 και τους άλους που είναι δεδομένοι στον πίνακα.
Η "ελάχιστη απόσταση" νομίζω ότι δεν η σωστή έκφραση. Αν είναι εύκολο, στείλε το πρόβλημα στο αρχικό του κείμενο.
Τα θέματα μπορούν να βρεθούν εδώ.

Σε ένα λαβύρινθο μπορεί να υπάρχουν διάφορες διαδρομές εξόδου από ένα κελί, όπως στο σχήμα παρακάτω, ο αριθμός στο κελί δείχνει τα ελάχιστα βήματα που χρειαζόμαστε για να εξέλθουμε από αυτόν.
labyrinth.png
labyrinth.png (7.08 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 2 επισκέπτες