Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am

ΘΕΜΑ 1
Δείξτε ότι η εξίσωση \displaystyle{a^3 + b^5 + c^7 + d^{11} = e^{13}} έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις.


ΘΕΜΑ 2
α) Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.
β) Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών (A, B) όπου A, B υποσύνολα του συνόλου \{1, 2, ... , 5\} για τα οποία δεν ισχύει ούτε A\subseteq B ούτε B\subseteq A.


ΘΕΜΑ 3
Έστω A B C D E F κυρτό εξάγωνο και σημείο P στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα PABC και P D E F να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με PA = BC = PD = EF και AB = PC = DE = PF. Η ευθεία l διέρχεται από το μέσο του AF και το περίκεντρο του τριγώνου PCD. Να δείξετε ότι η l διέρχεται και από το σημείο P.


ΘΕΜΑ 4
Έστω \displaystyle{a,b,c \in \mathbb{R}} με \displaystyle{a+b+c=0.} Να αποδείξετε ότι

\displaystyle{a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2 +3 \geq 6abc.}


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Απρ 05, 2020 10:48 am

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am
ΘΕΜΑ 3
Έστω A B C D E F κυρτό εξάγωνο και σημείο P στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα PABC και P D E F να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με PA = BC = PD = EF και AB = PC = DE = PF. Η ευθεία l διέρχεται από το μέσο του AF και το περίκεντρο του τριγώνου PCD. Να δείξετε ότι η l διέρχεται και από το σημείο P.
296.PNG
296.PNG (18.38 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Ισοδύναμα θα δείξω πως η ευθεία που ενώνει το περίκεντρο του τριγώνου \rm PCD (έστω \rm K) και το \rm P διχοτομεί το \rm AF.
Είναι \rm \angle DCP=90^{\circ}-\angle KPD=\angle FPM ,όμοια \rm \angle PMA=\angle PDC.Από το γενικευμένο θεώρημα διχοτόμου στο \rm \Delta FPA και τον νόμο ημιτόνων στο \rm \Delta DCP έχω \rm \dfrac{MF}{MA}=\dfrac{PF}{PA}\cdot \dfrac{\sin \angle FPM}{\sin \angle MPA}=\dfrac{PF}{PA}\cdot \dfrac{\sin \angle DCP}{\sin \angle PDC}=\dfrac{PF}{PA}\cdot\dfrac{PD}{PC}=1 και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Απρ 05, 2020 2:19 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am
ΘΕΜΑ 2
α) Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.
β) Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών (A, B) όπου A, B υποσύνολα του συνόλου \{1, 2, ... , 5\} για τα οποία δεν ισχύει ούτε A\subseteq B ούτε B\subseteq A.
α) Αρχικά βρίσκω το \displaystyle {\rm S=\rm \sum_{i=100}^{999}i=\sum_{i=1}^{999}i-\sum_{i=1}^{99}i=\dfrac{999\cdot 1000}{2}-\dfrac{99\cdot 100}{2}=494550}.Τώρα θα βρω το άθροισμα \rm S' των τριψήφιων οι οποίοι έχουν είτε όλα τα ψηφία περιττούς (τύπου 1) είτε άρτιους(τύπου 2).
Για τους τύπου 1): Αυτοί προκύπτουν θέτοντας σε κάθε τάξη ψηφίου έναν εκ των \rm 1,3,5,7,9 .Έτσι συνολικά το ψηφίο \rm 1 θα προσφέρει στο άθροισμα 25 \cdot (100+10+1) (επειδή όταν το 1 είναι στις εκατοντάδες τα άλλα δύο ψηφία επιλέγονται με 5\cdot 5=25 τρόπους κλπ).Όμοια και για τα άλλα ψηφία οπότε το άθροισμα των τύπου 1 είναι 25\cdot (111+333+555+777+999)=69375.
Για τους τύπου 2) Αυτοί προκύπτουν θέτοντας σε κάθε τάξη ψηφίου ένα εκ των 0,2,4,6,8,αλλά το 0 δεν μπαίνει στις εκατοντάδες.Έτσι το ψηφίο 2 συνολικά προσφέρει στο άθροισμα 25\cdot 200+20\cdot 20+20\cdot 2 (στους δύο τελευταίους όρους ο συντελεστής είναι 4\cdot 5=20 επειδή για τις εκατοντάδες δεν υπάρχουν 5 αλλά 4 επιλογές).Συνολικά λοιπόν οι τύπου 2 έχουν άθροισμα 25(200+400+600+800)+20(20+40+60+80)+2(2+4+6+8)=54400.

Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι \rm S-S'=494550-69375-54400=370775
β) Αρχικά το πλήθος όλων των διατεταγμένων συνόλων \rm A,B χωρίς συνθήκες είναι \displaystyle {\rm \left ( \sum_{i=0}^{5}\dbinom{5}{i} \right )^2} =32^2=1024.
Από αυτά θα αφαιρέσω όσα ζεύγη είναι \rm A\subseteq B ή \rm B\subseteq A.Για αυτό θα βρω τα ζεύγη για τα οποία το \rm B είναι υποσύνολο του  \rm A αλλά δεν ταυτίζεται με αυτό,προφανώς αυτό που θα βρω θα ισχύει και για το \rm A ,άρα επί δύο και μετά θα αφαιρέσω τα ζεύγη με \rm A=B.
Αν με (S) ορίζω το πλήθος των στοιχείων του \rm S και θέλω \rm B\subset A :
Όταν \rm (A)=k αυτό ορίζεται με \rm \dbinom{5}{k} ενώ σε κάθε περίπτωση το \rm B ορίζεται με \displaystyle {\rm \sum_{i=0}^{k-1}\dbinom{k}{i}=2^k-1} (από το διωνυμικό ανάπτυγμα).
Άρα έχουμε το άθροισμα \displaystyle {2(\rm \sum_{k=1}^{5}\dbinom{5}{k}(2^k-1))+\sum_{i=0}^{5}\dbinom{5}{i}=454}
Άρα το ζητούμενο πλήθος θα είναι 1024-454=570
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Κυρ Απρ 05, 2020 2:41 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Απρ 05, 2020 2:27 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am
ΘΕΜΑ 4
Έστω \displaystyle{a,b,c \in \mathbb{R}} με \displaystyle{a+b+c=0.} Να αποδείξετε ότι

\displaystyle{a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2 +3 \geq 6abc.}
Αρκεί να δείξουμε ότι:

\displaystyle{a^2 b^2 +c^2 +1 -2abc +b^2 c^2 +a^2 +1 -2abc +c^2 a^2 +b^2 +1 -2abc \geq a^2 +b^2 +c^2 \Leftrightarrow}

\displaystyle{(a^2 b^2 +c^2 +1 -2abc +2ab -2c)+(b^2 c^2 +a^2 +1 -2abc +2bc -2a)+(c^2 a^2 +b^2 +1 -2abc +2ca -2b) }

\displaystyle{\geq a^2 +b^2 +c^2 +2ab +2ac +2bc -2a-2b-2c}

\displaystyle{\Leftrightarrow (ab-c+1)^2 +(bc-a+1)^2 +(ca-b+1)^2 \geq (a+b+c)^2 -2(a+b+c) =0}, που είναι αληθές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9216
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 06, 2020 12:42 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am

ΘΕΜΑ 3
Έστω A B C D E F κυρτό εξάγωνο και σημείο P στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα PABC και P D E F να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με PA = BC = PD = EF και AB = PC = DE = PF. Η ευθεία l διέρχεται από το μέσο του AF και το περίκεντρο του τριγώνου PCD. Να δείξετε ότι η l διέρχεται και από το σημείο P.
Οι \displaystyle BC,ED τέμνονται στο N. Το PCND είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου PN. Αρκεί να δείξω ότι τα σημεία M, P, N είναι συνευθειακά.
38-μικροί.png
38-μικροί.png (24.55 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Έστω K το συμμετρικό του P ως προς M. Τα τρίγωνα AKP, PCD είναι προφανώς ίσα, άρα \displaystyle A\widehat PK = P\widehat DC = P\widehat NC

και \displaystyle F\widehat PK = A\widehat KP = P\widehat CD = P\widehat ND. Αλλά, AP||CN,FP||DN και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης