Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{a^3 + b^5 + c^7 + d^{11} = e^{13}}$ έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις.

ΘΕΜΑ 2
α) Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.
β) Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών (A, B)

όπου

υποσύνολα του συνόλου $\{1, 2, ... , 5\}$ για τα οποία δεν ισχύει ούτε $A\subseteq B$ ούτε $B\subseteq A.$

ΘΕΜΑ 3
Έστω A B C D E F

κυρτό εξάγωνο και σημείο

στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα PABC

και

να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με PA = BC = PD = EF

και

Η ευθεία

διέρχεται από το μέσο του

και το περίκεντρο του τριγώνου PCD.

Να δείξετε ότι η

διέρχεται και από το σημείο

ΘΕΜΑ 4
Έστω $\displaystyle{a,b,c \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a+b+c=0.}$ Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2 +3 \geq 6abc.}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am ΘΕΜΑ 3
Έστω κυρτό εξάγωνο και σημείο στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα και να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με και Η ευθεία διέρχεται από το μέσο του και το περίκεντρο του τριγώνου Να δείξετε ότι η διέρχεται και από το σημείο

: 296.PNG (18.38 KiB) Προβλήθηκε 1320 φορές

Ισοδύναμα θα δείξω πως η ευθεία που ενώνει το περίκεντρο του τριγώνου $\rm PCD$ (έστω $\rm K$ ) και το $\rm P$ διχοτομεί το $\rm AF$ .
Είναι $\rm \angle DCP=90^{\circ}-\angle KPD=\angle FPM$ ,όμοια $\rm \angle PMA=\angle PDC$ .Από το γενικευμένο θεώρημα διχοτόμου στο $\rm \Delta FPA$ και τον νόμο ημιτόνων στο $\rm \Delta DCP$ έχω $\rm \dfrac{MF}{MA}=\dfrac{PF}{PA}\cdot \dfrac{\sin \angle FPM}{\sin \angle MPA}=\dfrac{PF}{PA}\cdot \dfrac{\sin \angle DCP}{\sin \angle PDC}=\dfrac{PF}{PA}\cdot\dfrac{PD}{PC}=1$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am ΘΕΜΑ 2
α) Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.
β) Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών όπου υποσύνολα του συνόλου $\{1, 2, ... , 5\}$ για τα οποία δεν ισχύει ούτε $A\subseteq B$ ούτε $B\subseteq A.$

α) Αρχικά βρίσκω το $\displaystyle {\rm S=\rm \sum_{i=100}^{999}i=\sum_{i=1}^{999}i-\sum_{i=1}^{99}i=\dfrac{999\cdot 1000}{2}-\dfrac{99\cdot 100}{2}=494550}$ .Τώρα θα βρω το άθροισμα $\rm S'$ των τριψήφιων οι οποίοι έχουν είτε όλα τα ψηφία περιττούς (τύπου 1) είτε άρτιους(τύπου 2).
Για τους τύπου 1): Αυτοί προκύπτουν θέτοντας σε κάθε τάξη ψηφίου έναν εκ των $\rm 1,3,5,7,9$ .Έτσι συνολικά το ψηφίο \rm 1 θα προσφέρει στο άθροισμα $25 \cdot (100+10+1)$ (επειδή όταν το

είναι στις εκατοντάδες τα άλλα δύο ψηφία επιλέγονται με $5\cdot 5=25$ τρόπους κλπ).Όμοια και για τα άλλα ψηφία οπότε το άθροισμα των τύπου 1 είναι $25\cdot (111+333+555+777+999)=69375$ .
Για τους τύπου 2) Αυτοί προκύπτουν θέτοντας σε κάθε τάξη ψηφίου ένα εκ των 0,2,4,6,8

,αλλά το

δεν μπαίνει στις εκατοντάδες.Έτσι το ψηφίο

συνολικά προσφέρει στο άθροισμα $25\cdot 200+20\cdot 20+20\cdot 2$ (στους δύο τελευταίους όρους ο συντελεστής είναι $4\cdot 5=20$ επειδή για τις εκατοντάδες δεν υπάρχουν

αλλά

επιλογές).Συνολικά λοιπόν οι τύπου 2 έχουν άθροισμα 25(200+400+600+800)+20(20+40+60+80)+2(2+4+6+8)=54400

.

Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι $\rm S-S'=494550-69375-54400=370775$
β) Αρχικά το πλήθος όλων των διατεταγμένων συνόλων $\rm A,B$ χωρίς συνθήκες είναι $\displaystyle {\rm \left ( \sum_{i=0}^{5}\dbinom{5}{i} \right )^2} =32^2=1024$ .
Από αυτά θα αφαιρέσω όσα ζεύγη είναι $\rm A\subseteq B$ ή $\rm B\subseteq A$ .Για αυτό θα βρω τα ζεύγη για τα οποία το $\rm B$ είναι υποσύνολο του $\rm A$ αλλά δεν ταυτίζεται με αυτό,προφανώς αυτό που θα βρω θα ισχύει και για το $\rm A$ ,άρα επί δύο και μετά θα αφαιρέσω τα ζεύγη με $\rm A=B$ .
Αν με (S)

ορίζω το πλήθος των στοιχείων του $\rm S$ και θέλω $\rm B\subset A$ :
Όταν $\rm (A)=k$ αυτό ορίζεται με $\rm \dbinom{5}{k}$ ενώ σε κάθε περίπτωση το $\rm B$ ορίζεται με $\displaystyle {\rm \sum_{i=0}^{k-1}\dbinom{k}{i}=2^k-1}$ (από το διωνυμικό ανάπτυγμα).
Άρα έχουμε το άθροισμα $\displaystyle {2(\rm \sum_{k=1}^{5}\dbinom{5}{k}(2^k-1))+\sum_{i=0}^{5}\dbinom{5}{i}=454}$
Άρα το ζητούμενο πλήθος θα είναι 1024-454=570

#4

socrates έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am ΘΕΜΑ 4
Έστω $\displaystyle{a,b,c \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a+b+c=0.}$ Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2 +3 \geq 6abc.}$

Αρκεί να δείξουμε ότι:

$\displaystyle{a^2 b^2 +c^2 +1 -2abc +b^2 c^2 +a^2 +1 -2abc +c^2 a^2 +b^2 +1 -2abc \geq a^2 +b^2 +c^2 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(a^2 b^2 +c^2 +1 -2abc +2ab -2c)+(b^2 c^2 +a^2 +1 -2abc +2bc -2a)+(c^2 a^2 +b^2 +1 -2abc +2ca -2b) }$

$\displaystyle{\geq a^2 +b^2 +c^2 +2ab +2ac +2bc -2a-2b-2c}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (ab-c+1)^2 +(bc-a+1)^2 +(ca-b+1)^2 \geq (a+b+c)^2 -2(a+b+c) =0}$ , που είναι αληθές

#5

socrates έγραψε: Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am
ΘΕΜΑ 3
Έστω κυρτό εξάγωνο και σημείο στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα και να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με και Η ευθεία διέρχεται από το μέσο του και το περίκεντρο του τριγώνου Να δείξετε ότι η διέρχεται και από το σημείο

Οι $\displaystyle BC,ED$ τέμνονται στο

Το

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου PN.

Αρκεί να δείξω ότι τα σημεία M, P, N

είναι συνευθειακά.

: 38-μικροί.png (24.55 KiB) Προβλήθηκε 1218 φορές

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

Τα τρίγωνα AKP, PCD

είναι προφανώς ίσα, άρα $\displaystyle A\widehat PK = P\widehat DC = P\widehat NC$

και $\displaystyle F\widehat PK = A\widehat KP = P\widehat CD = P\widehat ND.$ Αλλά, AP||CN,FP||DN

και το ζητούμενο έπεται.

Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση