Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (8η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 8ης τάξης, 2020.

1. Σε κάθε κελί ενός $10 \times 10$ πίνακα βρίσκεται ένα μηδενικό. Με μια κίνηση μπορούμε να προσθέσουμε την μονάδα σε όλους τους αριθμούς μιας γραμμής ή μιας στήλης. Μετά από μερικές κινήσεις προέκυψε, ότι σε κάθε κελί της διαγώνιου, που ορίζεται από το πάνω αριστερά κελί μέχρι το κάτω δεξιά, βρίσκονται ίσοι αριθμοί, εξάλλου αυτοί δεν είναι μικρότεροι από οποιονδήποτε από τους εναπομείναντες αριθμούς του πίνακα. Να αποδείξετε, ότι όλοι οι αριθμοί του πίνακα είναι ίσοι μεταξύ τους.

2. Στην ημιευθεία $(0, +\infty)$ του άξονα των αριθμών είναι τοποθετημένα (περισσότερα από δυο) ευθύγραμμα τμήματα μήκους

. Για κάθε δυο διαφορετικά τμήματα σε αυτά μπορούμε να διαλέξουμε από έναν αριθμό έτσι, ώστε αυτοί οι αριθμοί να έχουν λόγο δυο. Το αριστερό άκρο του πιο αριστερού τμήματος είναι ο αριθμός

, το δεξί άκρο του δεξιότερου τμήματος είναι ο αριθμός

. Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η έκφραση b-a

;

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC

. Στην προέκταση της βάσης

προς τα σημεία

και

θεωρούμε τα σημεία

και

αντίστοιχα. Στην προέκταση της πλευράς

προς το σημείο

θεωρούμε το σημείο

. Αν

και

, να δείξετε ότι BD+CF>EF

.

4. Δίνεται ένα 129-

γωνο. Ο Λεωνίδας και ο Αχιλλέας παίζουν ένα παιχνίδι. Με την σειρά σημειώνουν μια κορυφή αυτού του πολυγώνου, πρώτη κίνηση κάνει ο Λεωνίδας. Ο Λεωνίδας με κάθε του κίνηση μπορεί να σημειώσει οποιαδήποτε μη ήδη σημειωμένη κορυφή. Ο Αχιλλέας με την δική του κίνηση μπορεί να σημειώσει οποιαδήποτε μη ήδη σημειωμένη κορυφή, που βρίσκεται παραδίπλα, από την τελευταία σημειωμένη από τον Λεωνίδα κορυφή. Το παιχνίδι τελειώνει όταν ο Αχιλλέας δεν μπορεί να κάνει κίνηση. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός κινήσεων που εγγυημένα μπορεί να κάνει ο Αχιλλέας ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο Λεωνίδας;

Καταληκτική αίθουσα

5. Η Αλεξάνδρα έχει ένα πάρα πολύ μακρύ κομμάτι χαρτί και έναν 2019-

ψήφιο αριθμό

. Η Αλεξάνδρα καταγράφει στο χαρτί με την σειρά χωρίς κενά τους διαδοχικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον

: $n, n+1, n+2, \ldots$ Να αποδείξετε, ότι αργά ή γρήγορα μετά την γραφή κάποιου από τους διαδοχικούς αριθμούς, στο χαρτί θα προκύψει αριθμός, που διαιρείται με το 101

.

6. Στο εσωτερικό ισόπλευρου τριγώνου ABC

δίνονται τα σημεία

και

τέτοια, ώστε το σημείο

να είναι εσωτερικό του τριγώνου AQB

,

και $\angle PAQ = \angle PBQ= 30^0$ . Να βρείτε την γωνία $\angle AQB$ .

7. Στον πίνακα είναι σχεδιασμένο ένα 1000-

γωνο. Ο Δημήτρης θέλει να σημειώσει σε αυτό 500

κορυφές και να συνδέσει κάθε μια από αυτές με μια τεθλασμένη τουλάχιστον τεσσάρων πλευρών. Όλες αυτές οι τεθλασμένες δεν πρέπει να τέμνονται μεταξύ τους και με τις πλευρές του 1000-

γώνου (μπορεί όμως να έχουν κοινά άκρα). Θα μπορέσει να το επιτύχει;

Edit 25/06/20: Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση του δεύτερου θέματος.

Πηγή

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιουν 20, 2020 11:34 am Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 8ης τάξης, 2020.

1. Σε κάθε κελί ενός $10 \times 10$ πίνακα βρίσκεται ένα μηδενικό. Με μια κίνηση μπορούμε να προσθέσουμε την μονάδα σε όλους τους αριθμούς μιας γραμμής ή μιας στήλης. Μετά από μερικές κινήσεις προέκυψε, ότι σε κάθε κελί της διαγώνιου, που ορίζεται από το πάνω αριστερά κελί μέχρι το κάτω δεξιά, βρίσκονται ίσοι αριθμοί, εξάλλου αυτοί δεν είναι μικρότεροι από οποιονδήποτε από τους εναπομείναντες αριθμούς του πίνακα. Να αποδείξετε, ότι όλοι οι αριθμοί του πίνακα είναι ίσοι μεταξύ τους.

Μετά από τις κινήσεις που έγιναν έστω $\rm i_k$ ο αριθμός των φορών που προσθέσαμε

στα στοιχεία της $\rm k$ στήλης (έστω από αριστερά προς δεξιά) και $\rm j_k$ ο αντίστοιχος αριθμός για την $\rm k$ στήλη.
Έτσι το κελί $\rm x_{k,l}$ ,δηλαδή στην σειρά $\rm k$ και στην στήλη $\rm l$ θα έχει τιμή $\rm x_{k,l}=i_k+j_l$ (ταυτίζω το όνομα με την τιμή του)
Το άθροισμα των τιμών των κελιών όλου του πίνακα είναι $\displaystyle {\rm \sum_{1\leq i,j\leq 10}x_{i,j}=10(\sum_{k=1}^{10}i_k+\sum_{k=1}^{10}j_k)=S}$
Από την υπόθεση $\rm x_{1,1}=x_{2,2}=...=x_{10,10}=a\geq x_{i,j},i,j\in[1,10]$ .Έτσι $\displaystyle {\rm \sum_{1\leq i,j\leq 10}x_{i,j}=10(\sum_{k=1}^{10}i_k+\sum_{k=1}^{10}j_k)}= 100a\geq S \Leftrightarrow S\geq S$ ,άρα πρέπει να έχουμε ισότητα ,δηλαδή όλα τα κελιά να έχουν την ίδια τιμή.

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιουν 20, 2020 11:34 am Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 8ης τάξης, 2020.

1. Σε κάθε κελί ενός $10 \times 10$ πίνακα βρίσκεται ένα μηδενικό. Με μια κίνηση μπορούμε να προσθέσουμε την μονάδα σε όλους τους αριθμούς μιας γραμμής ή μιας στήλης. Μετά από μερικές κινήσεις προέκυψε, ότι σε κάθε κελί της διαγώνιου, που ορίζεται από το πάνω αριστερά κελί μέχρι το κάτω δεξιά, βρίσκονται ίσοι αριθμοί, εξάλλου αυτοί δεν είναι μικρότεροι από οποιονδήποτε από τους εναπομείναντες αριθμούς του πίνακα. Να αποδείξετε, ότι όλοι οι αριθμοί του πίνακα είναι ίσοι μεταξύ τους.

Αλλιώς για το 1.

Ισχυρίζομαι ότι σε κάθε δυο γραμμές προσθέσαμε την μονάδα το ίδιο πλήθος φορών. Έστω ότι αυτό δεν ισχύει και ότι χωρίς βλάβη της γενικότητας προσθέσαμε περισσότερες φορές τη μονάδα στην δεύτερη γραμμή παρά στην πρώτη. Τότε ο αριθμός στο πάνω αριστερά κελί είναι μικρότερος από τον αριθμό αμέσως από κάτω του, άτοπο.

Άρα ο ισχυρισμός μας είναι αληθής και ασφαλώς το ίδιο ισχύει και για τις στήλες. Τότε όμως όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιουν 20, 2020 11:34 am Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 8ης τάξης, 2020.

4. Δίνεται ένα γωνο. Ο Λεωνίδας και ο Αχιλλέας παίζουν ένα παιχνίδι. Με την σειρά σημειώνουν μια κορυφή αυτού του πολυγώνου, πρώτη κίνηση κάνει ο Λεωνίδας. Ο Λεωνίδας με κάθε του κίνηση μπορεί να σημειώσει οποιαδήποτε μη ήδη σημειωμένη κορυφή. Ο Αχιλλέας με την δική του κίνηση μπορεί να σημειώσει οποιαδήποτε μη ήδη σημειωμένη κορυφή, που βρίσκεται παραδίπλα, από την τελευταία σημειωμένη από τον Λεωνίδα κορυφή. Το παιχνίδι τελειώνει όταν ο Αχιλλέας δεν μπορεί να κάνει κίνηση. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός κινήσεων που εγγυημένα μπορεί να κάνει ο Αχιλλέας ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο Λεωνίδας;

Θα δείξουμε πιο γενικά ότι αν ξεκινήσουμε με ένα (2^n+1)

-γωνο, τότε ο Αχιλλέας μπορεί σίγουρα να κάνει

κινήσεις και ο Λεωνίδας μπορεί να τον αποτρέψει από το να κάνει περισσότερες.

Ας δούμε πρώτα την τακτική του Αχιλλέα ώστε να κάνει τουλάχιστον

κινήσεις. Ισχυρίζομαι ότι για κάθε $m=1,2,\ldots,n$ , μετά από την

-οστή του κίνηση, μπορεί να επιτύχει οι αλυσίδες με τις συνεχόμενες μη σημειωμένες κορυφές να έχουν όλες άρτιο μήκος εκτός από μία περιττού μήκους με την αλυσίδα περιττού μήκους να έχει μήκος τουλάχιστον $2^{n+1-m}-1$ . (Ασφαλώς αν το δείξω αυτό τότε τελείωσα.) Προχωράω επαγωγικά. Για m=1

είναι άμεσο αφού θα έχουμε μια αλυσίδα μήκους $2^{n}-1$ . Έστω λοιπόν ότι το έχει πετύχει για m = k < n

.

Αν ο Λεωνίδας παίξει σε μια άρτια αλυσίδα, θα τη σπάσει σε μια άρτια και μια περιττή. (Η άρτια πιθανώς να έχει μήκος

.) O Αχιλλέας τώρα παίζει στην περιττή και την κάνει άρτια. Θα παραμείνει μόνο μια άρτια με μήκος τουλάχιστον $2^{n+1-m}-1 > 2^{n+1-(m+1)}-1$ .

Αν ο Λεωνίδας παίξει στην περιττή αλυσίδα, θα τη σπάσει είτε σε δυο περιττές είτε σε δυο άρτιες. Αν είναι και οι δύο περιττές, η μια θα έχει μήκος τουλάχιστον $2^{n-m}-1 = 2^{n+1-(m+1)}-1$ . Παίζει στη μικρότερη για να την κάνει άρτια. Παραμένει η περιττή με το συγκεκριμένο μήκος. Αν είναι και οι δύο άρτιες τότε η μια θα έχει μήκος τουλάχιστον $2^{n-m}-1 = 2^{n+1-(m+1)}-1$ και αφού είναι άρτια θα έχει μήκος τουλάχιστον $2^{n+1-(m+1)}$ . Παίζοντας στη μεγαλύτερη γίνεται η μοναδική περιττή και έχει μήκος τουλάχιστον $2^{n+1-(m+1)}-1$ .

Σε όλες τις περιπτώσεις τελειώσαμε οπότε ο ισχυρισμός μας είναι αληθής και ο Αχιλλές μπορεί να παίξει για

γύρους τουλάχιστον.

Τώρα πάμε στην στρατηγική του Λεωνίδα. Θα δείξουμε πως μπορεί να παίξει ώστε για $m=1,2,\ldots,n$ , μετά από την

-οστή κίνηση του Αχιλλέα να υπάρχει μια περιττή αλυσίδα μήκους ακριβώς $2^{n+1-m}-1$ . Αν το δείξουμε αυτό τελειώσαμε αφού μετά τη

-οστή κίνηση του Αχιλλέα θα υπάρχει αλυσίδα μήκους

και όταν παίξει σε αυτήν την κορυφή ο Λεωνίδας τότε ο Αχιλλέας δεν θα μπορέσει να κάνει κίνηση.

Ο ισχυρισμός μας είναι αληθής για m=1

. Αν ισχύει για m=k

και έχουμε μια περιττή αλυσίδα μήκους $2^{n+1-m}-1$ τότε ο Λεωνίδας παίζει στη μεσαία κορυφή αυτής της αλυσίδας για να μείνουν δυο αλυσίδες μήκους $2^{n+1-(m+1)-1$ . Μία από αυτές θα παραμείνει άθικτη μετά τη (m+1)

-οστή κίνηση του Αχιλλέα. Οπότε και εδώ τελειώσαμε.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιουν 20, 2020 11:34 am Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 8ης τάξης, 2020.

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο . Στην προέκταση της βάσης προς τα σημεία και θεωρούμε τα σημεία και αντίστοιχα. Στην προέκταση της πλευράς προς το σημείο θεωρούμε το σημείο . Αν και , να δείξετε ότι .

Αν

σημείο της

με

, τότε

και

$FB+BD'+D'E>FE\Rightarrow BD'+(FB+BC)>EF\Rightarrow BD+CF>EF$

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιουν 20, 2020 11:34 am Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 8ης τάξης, 2020.

2. Στην ημιευθεία $(0, +\infty)$ του άξονα των αριθμών είναι τοποθετημένα (περισσότερα από δυο) διαστήματα μήκους . Για κάθε δυο διαφορετικά διαστήματα σε αυτά μπορούμε να διαλέξουμε από έναν αριθμό έτσι, ώστε αυτοί οι αριθμοί να «διαφέρουν» κατά δυο φορές. Το αριστερό άκρο του πιο αριστερού διαστήματος είναι ο αριθμός , το δεξί άκρο του δεξιότερου διαστήματος είναι ο αριθμός . Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η έκφραση ;

Δεν καταλαβαίνω το κομμάτι που λέει «να «διαφέρουν» κατά δυο φορές».

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιουν 20, 2020 11:34 am Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 8ης τάξης, 2020.

5. Η Αλεξάνδρα έχει ένα πάρα πολύ μακρύ κομμάτι χαρτί και έναν ψήφιο αριθμό . Η Αλεξάνδρα καταγράφει στο χαρτί με την σειρά χωρίς κενά τους διαδοχικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον : $n, n+1, n+2, \ldots$ Να αποδείξετε, ότι αργά ή γρήγορα μετά την γραφή κάποιου από τους διαδοχικούς αριθμούς, στο χαρτί θα προκύψει αριθμός, που διαιρείται με το .

Όμορφο!!

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι έχουμε γράψει όλους τους αριθμούς με το πολύ 2021

ψηφία και ακόμη δεν βρήκαμε αριθμό πολλαπλάσιο του 101

. Έστω επίσης πως όταν γράψαμε τον τελευταίο 2021

-ψήφιο αριθμό έχουμε τον αριθμό x_0

. Ο επόμενος αριθμός είναι ο $x_1 = 10^{2022}x_0 + 10^{2021}$ , ο επόμενος ο $x_2 = 10^{2022}x_1 + 10^{2021}+1$ και γενικά έχουμε $x_{n+1} = 10^{2022}x_n + 10^{2021} + n$ για $n \leqslant 10^{2022}-10^{2021}-1$ .

Παρατηρούμε ότι $10^2 \equiv -1 \bmod 101$ οπότε $10^{2022} \equiv -1 \bmod 101$ . Τότε έχουμε

$\displaystyle x_{n+1} \equiv -x_n + 10^{2021} + n \bmod 101$

και

$\displaystyle x_{n+2} \equiv -x_{n+1} + 10^{2021} + (n+1) \equiv (x_n - 10^{2021} - n) + 10^{2021} + (n+1) \equiv x_n + 1 \bmod 101$

Αφού $x_{n+2} \equiv x_n + 1 \bmod 101$ για κάθε $n \leqslant 10^{2022}-10^{2021}-1$ , τότε σίγουρα κάποιος από τους $x_2,x_4,\ldots,x_{200}$ θα είναι πολλαπλάσιος του 101

. (Αν $x_0 \equiv k \bmod 101$ με $1 \leqslant k \leqslant 100$ , τότε ο $x_{2(101-k)}$ θα είναι πολλαπλάσιος του 101

.

Al.Koutsouridis · #7

Demetres έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2020 1:22 pm
2. Στην ημιευθεία $(0, +\infty)$ του άξονα των αριθμών είναι τοποθετημένα (περισσότερα από δυο) διαστήματα μήκους . Για κάθε δυο διαφορετικά διαστήματα σε αυτά μπορούμε να διαλέξουμε από έναν αριθμό έτσι, ώστε αυτοί οι αριθμοί να «διαφέρουν» κατά δυο φορές. Το αριστερό άκρο του πιο αριστερού διαστήματος είναι ο αριθμός , το δεξί άκρο του δεξιότερου διαστήματος είναι ο αριθμός . Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η έκφραση ;

Δεν καταλαβαίνω το κομμάτι που λέει «να «διαφέρουν» κατά δυο φορές».

Δεν είχα την δυνατότητα να απαντήσω νωρίτερα. Έβαλα το διαφέρουν σε παρενθέσεις γιατί δεν ήμουν ούτε εγώ σίγουρος. Νομίζω το πρόβλημα εννοεί να έχουν λόγο δυο. Έχω αλλάξει και την αρχική εκφώνηση. Έχω αλλάξει και την λέξη διάστημα σε ευθύγραμμο τμήμα.

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: Πέμ Ιουν 25, 2020 10:19 am
Demetres έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2020 1:22 pm
2. Στην ημιευθεία $(0, +\infty)$ του άξονα των αριθμών είναι τοποθετημένα (περισσότερα από δυο) διαστήματα μήκους . Για κάθε δυο διαφορετικά διαστήματα σε αυτά μπορούμε να διαλέξουμε από έναν αριθμό έτσι, ώστε αυτοί οι αριθμοί να «διαφέρουν» κατά δυο φορές. Το αριστερό άκρο του πιο αριστερού διαστήματος είναι ο αριθμός , το δεξί άκρο του δεξιότερου διαστήματος είναι ο αριθμός . Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η έκφραση ;

Δεν καταλαβαίνω το κομμάτι που λέει «να «διαφέρουν» κατά δυο φορές».

Δεν είχα την δυνατότητα να απαντήσω νωρίτερα. Έβαλα το διαφέρουν σε παρενθέσεις γιατί δεν ήμουν ούτε εγώ σίγουρος. Νομίζω το πρόβλημα εννοεί να έχουν λόγο δυο. Έχω αλλάξει και την αρχική εκφώνηση. Έχω αλλάξει και την λέξη διάστημα σε ευθύγραμμο τμήμα.

Ναι, αυτή πρέπει να είναι η διόρθωση διότι τότε είναι σημαντικό το «περισσότερα από δύο τμήματα».

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιουν 20, 2020 11:34 am Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 8ης τάξης, 2020.

2. Στην ημιευθεία $(0, +\infty)$ του άξονα των αριθμών είναι τοποθετημένα (περισσότερα από δυο) ευθύγραμμα τμήματα μήκους . Για κάθε δυο διαφορετικά τμήματα σε αυτά μπορούμε να διαλέξουμε από έναν αριθμό έτσι, ώστε αυτοί οι αριθμοί να έχουν λόγο δυο. Το αριστερό άκρο του πιο αριστερού τμήματος είναι ο αριθμός , το δεξί άκρο του δεξιότερου τμήματος είναι ο αριθμός . Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η έκφραση ;

Τα τμήματα $[\frac{5}{2},\frac{7}{2}],[4,5],[7,8]$ ικανοποιούν το ζητούμενο και ισχύει επιπλέον ότι $b-a = \frac{11}{2}$ . Θα δείξουμε ότι αυτό είναι το βέλτιστο.

Έστω ότι έχουμε τα τμήματα $[a_1,a_1+1],[a_2,a_2+1],\ldots,[a_n,a_n+1]$ με $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ .

Για κάθε $1 \leqslant k \leqslant n$ πρέπει $a_{k+1}+1 \geqslant 2a_k$ . Έχουμε τότε $a_2 \geqslant 2a_1-1$ , $a_3 \geqslant 2a_2-1 \geqslant 2(2a_1-1)-1 = 4a_1-3$ . Επαγωγικά (εύκολο) παίρνουμε $a_n \geqslant 2^{n-1}a_1 - (2^{n-1}-1)$ .

Επίσης έχουμε και $2(a_1+1) \geqslant a_n$ . Άρα $(2^{n-1}-2)a_1 \leqslant 2^{n-1}+1$ και

$\displaystyle a_1 \leqslant \frac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}-2} = 1 + \frac{3}{2^{n-1}-2} \leqslant 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Τότε όμως είναι και $b-a = (a_n+1)-a_1 \leqslant a_1+3 \leqslant \frac{11}{2}$

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση